相加・相乗平均による不等式の証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 左辺は $3$ つの「$2$ 数の和」の積。相加相乗平均が各因数に効く。

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$、$b+c\ge 2\sqrt{bc}$、$c+a\ge 2\sqrt{ca}$。$3$ つとも正の数どうしの不等式だ。

正の数の不等式は辺々を掛けてよい。$3$ つを掛けると右辺は $8\sqrt{ab\cdot bc\cdot ca}=8\sqrt{a^2{b}^2{c}^2}=8abc$。等号は各不等式の等号が同時に成り立つ $a=b=c$ のとき。

① 各因数に相加相乗。 $a,b,c>0$ より

$$a+b\ge 2\sqrt{ab},b+c\ge 2\sqrt{bc},c+a\ge 2\sqrt{ca}$$

② 辺々を掛ける。 すべて正だから、不等号の向きを保って掛け合わせられる。

$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ca}=8\sqrt{ab\cdot bc\cdot ca}$$

③ 右辺を整理する。 $ab\cdot bc\cdot ca=a^2{b}^2{c}^2$ だから $\sqrt{a^2{b}^2{c}^2}=abc$($a,b,c>0$)。よって

$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$$

④ 等号条件。 等号は $a=b$ かつ $b=c$ かつ $c=a$、すなわち $a=b=c$ のとき。(証明終)

まとめ:「和の積」$\ge$「積」の形は、各因数に相加・相乗平均を当てて掛け合わせるのが定石。正の数どうしだから辺々を掛けられる。等号はすべての相加相乗の等号が同時に成り立つ $a=b=c$。

発展 — 一歩先へ。 $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$ は、より一般の $n$ 変数の相加相乗平均 $\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$ の応用。$3$ 変数版 $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$ と組み合わせると、対称式の不等式が次々に導ける。等号成立が「全部等しい」なのは、相加相乗平均の共通の特徴だ。

別解

別解 — $t=b/a$ 等の比で $1$ 変数化して確かめる(別の視点)。 不等式が同次(すべての項が同じ次数)なので、$c=1$ と正規化しても一般性を失わない。さらに対称性を使いつつ、各因数を比で見る。

$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}=\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}\cdot \frac{\sqrt{ab}}{?}$…と分けるより、各因数の比

$$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\right)\ge 1$$

を使う($t+\frac{1}{t}\ge 2$)。$3$ つの因数それぞれがこの形で $\ge 1$ になり、積が $\ge 1$。だから $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$。等号は各比が $1$、すなわち $a=b=c$。

相加相乗を $3$ つ掛ける本解と同じだが、各因数を「$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\right)\ge 1$」と読むと、$t+\frac{1}{t}\ge 2$ という最も基本的な不等式に帰着する。同次な不等式は「比で見る・$1$ つを $1$ に固定する」と扱いやすい。