対称式の因数分解と3変数の相加相乗

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1) は右辺を根気よく展開すれば確かめられる。証明としてはそれで十分だ。

(2) が本番。因数分解した形は「$(a+b+c)\times$(第2因数)」だから、それぞれの符号が分かれば積の符号も決まる。

$a+b+c$ は正。第2因数 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ は平方の和 $\frac{1}{2}\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\}$ に化けるので $0$ 以上。これで積が $0$ 以上、すなわち不等式が出る。

① (1) の証明。 右辺を展開する。$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を掛けると、$a^3+b^3+c^3$ が残り、他の項はすべて打ち消し合って $-3abc$ が出る。よって左辺に一致。

② 第 $2$ 因数の符号。 $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\}\ge 0.$$ ③ 不等式。 $a,b,c>0$ より $a+b+c>0$。(1) より $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\cdot \underset{\ge 0}{\underbrace{\frac{1}{2}\{(a-b{)}^2+\cdots \}}}\ge 0,$$ ゆえに $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$。等号は第 $2$ 因数が $0$、すなわち $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=0$ より $a=b=c$ のとき。

まとめ 因数分解で「正 × 非負」に分け、第 $2$ 因数を平方和にして $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$(等号 $a=b=c$)。因数分解と不等式(平方完成)の融合。対称式の因数分解が武器。

発展 — 一歩先へ。 この恒等式から、実数では $a^3+b^3+c^3=3abc⟺a+b+c=0$ または $a=b=c$。複素数まで広げると第2因数がさらに $(a+b\omega +c{\omega }^2)(a+b{\omega }^2+c\omega )$($\omega$ は1の3乗根)と割れる。3次方程式の解の公式(カルダノ)の心臓部に、この式が座っている。

別解

別解 — 因数分解を「発見」する(得意な人向けの高い視点)。 (1) の右辺を天下りに展開するのでなく、左辺から因数を見つけにいく。

左辺を $a$ の3次式とみて、$a=-(b+c)$ を代入してみる。

$$-(b+c{)}^3+b^3+c^3+3bc(b+c)=0.$$

$a+b+c=0$ となる $a$ を入れると $0$。因数定理により、左辺は $a+b+c$ で割り切れる。

残りの因数は、左辺が3次の対称式であることから2次の対称式。$a^2+b^2+c^2+\lambda (ab+bc+ca)$ とおいて1点比較(たとえば $a=1,b=1,c=0$)すれば $\lambda =-1$ と決まる。対称性を保ったまま因数を探すこの手順は、対称式の因数分解全般で使い回せる。