3変数の相加相乗の応用

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 左辺を展開すると、定数 $3$ と $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ 型のペアが $3$ 組現れる。

各ペアは相加相乗で $2$ 以上と下から押さえられる。

「展開して、相加相乗の効くペアに分け、足し合わせる」。基本の $2$ 変数問題の発想を、$3$ 変数へ広げた総合問題だと見る。

左辺を展開する。

$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)$$

各ペアに相加相乗を使うと $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$、$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge 2$、$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge 2$。よって

$$\ge 3+2+2+2=9$$

まとめ:等号はすべてのペアで成り立つとき、つまり $a=b=c$ のとき。$■$

発展 — 一歩先へ。 この不等式は $n$ 変数に一般化できる。正の数 $a_1,\dots ,a_n$ で $(a_1+\cdots +a_n)\left(\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2$、等号は全部等しいときだ。

見方を変えると、これは相加平均が調和平均以上であること(AM $\ge$ HM)に等しい。実際 $\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$ を移項すると上の形になる。

「和」と「逆数の和」の積が、変数の個数の $2$ 乗で下から抑えられる。平均どうしの大小という、より一般の原理の顔がここに出ている。

別解

別解 — コーシー・シュワルツの不等式で一気に(得意な人向けの高い視点)。 展開せず、$2$ 乗和の積の不等式に乗せる。

$3$ つの数の組 $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$ と $\left(\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{b}},\frac{1}{\sqrt{c}}\right)$ にコーシー・シュワルツを使う。

$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge {\left(\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}\cdot \frac{1}{\sqrt{c}}\right)}^2=(1+1+1{)}^2=9.$$

各項の積がすべて $1$ になるのがしくみの要だ。等号はコーシー・シュワルツの等号、すなわち $2$ つの組が比例する $a=b=c$ のとき。展開して $3$ 組のペアに分ける本解と同じ答えに、$1$ 行で届く。