数学II / 式と証明

部分分数分解

★★ 標準部分分数分解恒等式

問題

$\frac{4 x + 5}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ を $\frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x + 2}$ の形に分解せよ。

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分母を払って恒等式にしてから、 $a$ だけ・ $b$ だけが残る $x$ の値を代入するのが早い。係数比較でも解けるが、どちらが楽か比べてみよう。

解答・解説

両辺に分母をかけて分数を払い、 $x = - 1$ 、 $x = - 2$ を代入して $a$ 、 $b$ を1つずつ求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分解後の形( $\frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x + 2}$ )が指定されているから、これを恒等式として $a, b$ を決める問題だ。

両辺に $(x + 1) (x + 2)$ をかけて分数を払う。 $4 x + 5 = a (x + 2) + b (x + 1)$ 。

ここで、どんな $x$ でも成り立つのだから、 $x = - 1$ と $x = - 2$ を選んで代入する。片方の項が消える値を選ぶのがうまさで、 $a, b$ が1回ずつの代入で確定する。

両辺に $(x + 1) (x + 2)$ をかける。

$4 x + 5 = a (x + 2) + b (x + 1)$

$x = - 1$ を代入: $4 (- 1) + 5 = 1 = a (1)$ より $a = 1$ 。

$x = - 2$ を代入: $4 (- 2) + 5 = - 3 = b (- 1)$ より $b = 3$ 。

$\frac{4 x + 5}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}$

(部分分数分解は、数列の和や積分で威力を発揮する重要な道具だ。)

発展 — 一歩先へ。 部分分数分解の真価は、数学Bの数列で爆発する。 $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ と分解すると、和をとったとき隣どうしが打ち消し合い、長い和が両端だけ残る(望遠鏡和)。

分母に $(x + 1)^{2}$ のような重複因子があるときは、 $\frac{a}{x + 1} + \frac{b}{( x + 1 ) ^{2}}$ と項を増やして分解する。数学IIIの積分でも、分数関数を積分できる形に崩す標準装備として使い続けることになる。

答

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}$

恒等式のもう1つの決め方、「係数比較」でも解ける。

$4 x + 5 = a (x + 2) + b (x + 1)$ の右辺を整理すると $(a + b) x + (2 a + b)$ 。

左辺と係数を見比べて

$a + b = 4, 2 a + b = 5$

差をとって $a = 1$ 、よって $b = 3$ 。代入ルートと同じ答えだ。

恒等式の係数の決定には「数値代入」と「係数比較」の2大手法があり、どちらでも必ず同じ結論に着く。代入は消える値があるとき速く、係数比較は機械的で見落としがない。両方を持って、式の形で使い分けるのが理想である。