式と証明の解説

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月2日

式と証明は、数学IIの最初の単元で、3次式の展開と因数分解、二項定理、整式の割り算、分数式、恒等式、等式と不等式の証明を扱います。前半は数学Iの「数と式」の続きで、後半の証明は、この先の数学全体で使う「示し方の型」を学ぶところです。この記事では、計算の部分と証明の部分に分けて、それぞれの要点を説明します。

計算の部分: 二項定理と割り算

3次式の展開・因数分解は、 $(a \pm b)^{3}$ と $a^{3} \pm b^{3}$ の4つの公式を覚えるだけです。3次式の展開と因数分解で確認してください。

二項定理 $(a + b)^{n} = \sum_{n} C_{k} a^{n - k} b^{k}$ は、「特定の項の係数」を求める問題で使います。「 $x^{3}$ の係数を求めよ」なら、一般項を書いて指数が3になる $k$ を決める、という手順です。定数項も同じで、指数が0になる $k$ を探します。二項定理と特定の項の係数と標準の定数項で型を固め、応用の二項係数の和では、 $(1 + 1)^{n}$ や $(1 - 1)^{n}$ に代入して係数の和を求める技術へ進みます。

整式の割り算は、筆算で商と余りを求めます。「 $P (x)$ を2次式で割った余り」は1次以下の式なので $a x + b$ とおき、割る式が0になる値を代入して $a$ と $b$ を決めるのが定石です。標準の高次式を2次式で割った余りから応用の(x−1)² で割った余りへ進むと、割る式が重解をもつときには微分(または展開)が要ることがわかります。

分数式の計算は、通分と約分だけですが、繁分数式(分数の中に分数がある形)は、内側から順に整理します(標準の繁分数式の整理)。部分分数分解は、数学Bの数列の和と数学IIIの積分で繰り返し使うので、部分分数分解(数値代入)と標準の同名の問題で、係数の決め方(通分して恒等式にする、または数値代入)を確実にしてください。

恒等式は「係数比較」か「数値代入」

「すべての $x$ で成り立つ等式」が恒等式で、両辺の同じ次数の係数を比べる方法と、 $x$ に都合のよい値を代入する方法があります。数値代入は速い一方、代入した個数が未知数より少ないと「必要条件」しか得られないので、最後に「逆にこのとき恒等式になる」と確かめます。恒等式と係数比較で両方の方法を確認してください。

証明の部分: 等式は「差」、不等式は「差の符号」

等式の証明は、「左辺を変形して右辺にする」「両辺の差が0になることを示す」「両辺を別々に変形して同じ式にする」の3通りです。条件つきの等式では、条件から1文字を消去するか、比例式なら「 $= k$ とおく」のが定石です。条件つき等式の証明と標準の比例式と等式の証明で、この2つを練習してください。

不等式の証明は、「両辺の差をとって、それが0以上であることを示す」のが基本です。差が平方の形になれば0以上がわかります。不等式の証明(差をとる)で型を確認し、標準の2乗の和の積の不等式で、差が平方の和になる例を見てください。

相加平均と相乗平均は「使える形」を作る

$a > 0$ 、 $b > 0$ のとき $\frac{a + b}{2} \geq ab$ (等号は $a = b$ )が相加平均と相乗平均の関係です。「和の最小値」を求める問題で、積が定数になる2つの正の数を見つけたときに使います。

この道具で最も多い失敗は、等号が成り立つ条件を確認しないことです。最小値は「その値をとる $a$ 、 $b$ が存在する」ときだけ最小値と言えます。等号条件 $a = b$ が問題の条件と両立するかを、必ず書いてください。相加平均・相乗平均と最小値、標準の逆数の和、分数式の最小値、応用の3変数の相加相乗の順に進んでください。

「使える形を作る」というのは、 $x + \frac{4}{x}$ ならそのまま、 $x + \frac{4}{x - 1}$ なら $(x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 1$ と直してから使う、ということです。積が定数になるように「同じかたまり」をそろえる練習が、この道具の使い方の中心です。

二項係数の和を「代入」で求める

$(1 + x)^{n} = \sum_{n} C_{k} x^{k}$ という恒等式に、 $x = 1$ を代入すると $\sum_{n} C_{k} = 2^{n}$ 、 $x = - 1$ を代入すると交代和が0になります。「二項展開を恒等式とみて、都合のよい値を代入する」という技術で、二項係数の和の問題はほぼすべて解けます。応用の二項係数の和と二項係数の積の和で確認してください。

$\sum k_{n} C_{k}$ のように係数に $k$ がつく和は、恒等式を微分してから代入します(数学IIの微分を使うので、実戦編の二項係数の重み付き和で扱います)。 $\sum (_{n} C_{k})^{2}$ は、 $(1 + x)^{n} (1 + x)^{n} = (1 + x)^{2 n}$ の $x^{n}$ の係数を比較すると出ます(実戦編の二項係数の平方和)。「恒等式の係数比較」と「値の代入」の2つが、二項係数の和の2大道具です。

等号条件を書く習慣

相加平均と相乗平均の関係で最小値を求めるとき、答案には「等号が成り立つのは $a = b$ のとき」と、その値が問題の条件を満たすことを書きます。等号条件が満たせない場合、その値は最小値ではありません(最難関編の相加相乗の等号が使えない最小値がその例です)。不等式の証明でも、「等号は〜のとき」を最後に添えるのが型です。標準の逆数の和の不等式から、この1行を毎回書いてください。

学習の順序と入試での出方

基礎12問は、3次式、二項定理、割り算、分数式、恒等式、等式の証明、不等式の証明、相加相乗の順です。標準12問で二項展開の係数の和、余りの条件、部分分数、繁分数、比例式、相加相乗の応用を扱い、応用8問で二項係数の和、重解で割る余り、3変数の相加相乗、対称式の不等式へ進みます。

入試では、相加相乗と証明の書き方がこの単元の中心で、数学IIIの微分を使った不等式の証明や、数学Bの数列の和の評価と組み合わさって出題されます。難関(★★★★)以上には、コーシー・シュワルツの不等式、多項定理、二項係数の平方和、 $(1 + 1/ n)^{n} < 3$ の証明など、証明技術を深める問題を集めました。

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