数学II / 式と証明

二項展開の係数の和

★★ 標準二項定理

問題

$(1 + 2 x)^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ とする。次の値を求めよ。

(1) $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6}$

(2) $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + a_{6}$

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係数を全部求めて足すのは遠回り。 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{6}$ という和、もとの式の $x$ に何かを代入した値そのものになっていないか。交代和のほうも同じ発想でいける。

解答・解説

係数の和は、うまい値を代入すると一発で出る。 $x = 1$ で全部の和、 $x = - 1$ で符号交代の和。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 係数を1個ずつ求めて足すのは最終手段だ。この等式は「どんな $x$ でも成り立つ恒等式」であることに注目する。

恒等式なら、好きな値を代入してよい。 $x = 1$ を入れると、右辺は係数の総和そのものになる。

(2)の符号が交互の和は、 $x = - 1$ の代入で作れる。「ほしい和の形から、逆に代入する値を設計する」のがこの問題の心だ。

$(1 + 2 x)^{6} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{6} x^{6}$ に、うまい値を代入する。

(1) $x = 1$ を代入すると、左辺は $(1 + 2)^{6} = 3^{6}$ 、右辺は $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{6}$ 。よって

$a_{0} + a_{1} + \dots + a_{6} = 3^{6} = 729$

(2) $x = - 1$ を代入すると、左辺は $(1 - 2)^{6} = (- 1)^{6} = 1$ 、右辺は $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + a_{6}$ 。よって

$a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + a_{6} = 1$

(展開せず、代入だけで係数の和が出る。 $x = 1$ と $x = - 1$ の使い分けがコツだ。)

発展 — 一歩先へ。 $x$ に代入する値の設計は、 $1$ と $- 1$ にとどまらない。 $x = 2$ なら $a_{k} 2^{k}$ の和が出るし、微分してから代入すれば $k a_{k}$ の重みつき和も作れる(数IIの微分を学んだ後の話だ)。

$(1 + x)^{n}$ に $x = 1$ を入れた $_{n} C_{0} +_{n} C_{1} + \dots +_{n} C_{n} = 2^{n}$ は、この技のいちばん有名な特例で、「部分集合の総数」という組合せの事実とも一致する。

答

(1) $729$ (2) $1$

(1)と(2)を「連立」させると、さらに2つの和が手に入る。偶数番目だけの和と、奇数番目だけの和だ。

(1) $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{6} = 729$ と (2) $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + a_{6} = 1$ を足すと、奇数番目が消えて

$2 (a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}) = 730 \Rightarrow a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = 365$

引くと偶数番目が消えて $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 364$ 。

「 $x = 1$ と $x = - 1$ の代入結果を足し引きして、偶数次・奇数次を分離する」。この足し引きの技は、係数の和の問題の定番の続き手で、入試では(1)(2)より、この分離までがセットで問われることが多い。