数学II / 式と証明

分数式の最小値(相加相乗)

★★ 標準相加平均・相乗平均

問題

$x > 0$ のとき、 $\frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$ の最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。

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分子の次数が分母より高いときは、まず割り算して『多項式 + 分数』の形に直す。すると、和の最小値でおなじみの形が顔を出す。置きかえると見やすい。等号成立の値が範囲に入っているかも確認。

解答・解説

そのままでは相加相乗が使いにくい。 $x + 1 = t$ と置きかえて、 $t + \frac{( 定数 )}{t}$ の形に持ちこむ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分子が2次・分母が1次の分数式。このままでは道具が効かない。

分母 $x + 1$ をひとかたまりに、 $t = x + 1$ ( $t > 1$ )と置きかえる。分子を $t$ で書き直すと

$\frac{t ^{2} + 2}{t} = t + \frac{2}{t}$

「変数+定数/変数」の形が現れた。積が定数 $2$ の2数の和だから、相加相乗の出番だ。等号成立の $t$ が範囲( $t > 1$ )に入るかの検分まで含めて1セットである。

公式相加平均・相乗平均の関係

x + y \geq 2 x y

(

x, y > 0

)

$x + 1 = t$ とおく( $x > 0$ より $t > 1$ )。分子は平方完成すると $x^{2} + 2 x + 3 = (x + 1)^{2} + 2$ なので

$\frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x + 1} = \frac{( x + 1 ) ^{2} + 2}{x + 1} = \frac{t ^{2} + 2}{t} = t + \frac{2}{t}$

$t > 0$ なので相加相乗より

$t + \frac{2}{t} \geq 2 t \cdot \frac{2}{t} = 22$

等号は $t = \frac{2}{t}$ 、つまり $t = 2$ ( $> 1$ で範囲内)のとき。 $t = x + 1 = 2$ より $x = 2 - 1$ ( $> 0$ )。

よって $x = 2 - 1$ のとき最小値 $22$ 。

( $(x + 1)^{2} + 2$ と平方完成して $t = x + 1$ で置きかえるのがカギ。等号がとれる $t$ が範囲内かの確認も忘れずに。)

y=(x²+2x+3)/(x+1)(x>0)。最小 2√2≈2.83(x=√2−1)

発展 — 一歩先へ。 相加相乗で最小値を求めるとき、本当の主役は「等号が成立できるか」の検分だ。もし定義域が $x \geq 2$ なら、等号点 $x = 2 - 1$ は範囲外となり、相加相乗の $22$ は「到達できない下界」にすぎなくなる(そのときは単調性で端の値が最小になる)。

数学IIIに進むと、この種の分数関数の増減は微分で機械的に調べられるようになる。相加相乗・逆手流・微分の3本の道を持つのが最終形だ。

答

$x = 2 - 1$ のとき最小値 $22$

「 $= m$ とおいて、実数解の存在条件から $m$ の範囲を出す」逆手流でも解ける。

$\frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x + 1} = m$ とおき、分母を払って整理すると

$x^{2} + (2 - m) x + 3 - m = 0$

この方程式が $x > 0$ の解を持つような $m$ の範囲が、そのまま関数のとりうる値の範囲だ。

判別式は $D = (2 - m)^{2} - 4 (3 - m) = m^{2} - 8$ 。実数解には $m \geq 22$ (今の設定では $m > 0$ 側)が必要になる。

境目の $m = 22$ では重解 $x = \frac{m - 2}{2} = 2 - 1 > 0$ で、範囲の条件も満たす。よって最小値 $22$ ( $x = 2 - 1$ )。

「関数の値域=方程式が解を持つ $m$ の集合」という発想の転換は、分数関数・2変数の最大最小で広く効く高等技術だ。相加相乗と答えが一致することが、双方の検算になる。