二項定理による展開

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(x+2{)}^4$ を、カッコを $4$ 回掛けて展開するのは骨が折れる。二項定理なら一気に書ける。

$$(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_r{a}^{n-r}{b}^r$$

必要な部品は $2$ つだ。

部品1: 二項係数(パスカルの三角形の $4$ 段目)。

$$1,4,6,4,1$$

部品2: $b=2$ の累乗($2^0,2^1,2^2,2^3,2^4$)。

$$1,2,4,8,16$$

この $2$ つを掛け合わせたものが係数になる。

$$1\cdot 1,4\cdot 2,6\cdot 4,4\cdot 8,1\cdot 16=1,8,24,32,16$$

$2^r$ を掛け忘れて、二項係数($1,4,6,4,1$)だけを書く — これが最頻ミスである。

$(a+b{)}^4$ の二項係数は、パスカルの三角形の $4$ 段目 $1,4,6,4,1$。$a=x$、$b=2$ として、$x$ の累乗を下げ、$2$ の累乗を上げていく。

$$(x+2{)}^4={}_4{\mathrm{C}}_0{x}^4+{}_4{\mathrm{C}}_1{x}^3\cdot 2+{}_4{\mathrm{C}}_2{x}^2\cdot 2^2+{}_4{\mathrm{C}}_{3}x\cdot 2^3+{}_4{\mathrm{C}}_4\cdot 2^4$$

係数を計算して

$$=x^4+4x^3\cdot 2+6x^2\cdot 4+4x\cdot 8+16=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$$

($2$ の累乗 $1,2,4,8,16$ を、二項係数 $1,4,6,4,1$ にかけている。両方をかけ合わせるのがコツだ。)

発展 — 一歩先へ。 二項定理に、うまい値を代入すると、面白い等式が次々に出てくる。

$(1+1{)}^n$ を考える。

$$2^n={}_n{\mathrm{C}}_0+{}_n{\mathrm{C}}_1+{}_n{\mathrm{C}}_2+\cdots +{}_n{\mathrm{C}}_n$$

パスカルの三角形の各段を足すと $2^n$ になる — $n=4$ なら $1+4+6+4+1=16=2^4$ ✓。

$(1-1{)}^n$ を考える。

$$0={}_n{\mathrm{C}}_0-{}_n{\mathrm{C}}_1+{}_n{\mathrm{C}}_2-\cdots$$

符号を交互につけて足すと $0$ — $1-4+6-4+1=0$ ✓。ここから「偶数番目の和 $=$ 奇数番目の和 $=2^{n-1}$」が出る。

$(1+x{)}^n$ を微分すると、係数に $r$ が掛かった和が出てくる。

$$n(1+x{)}^{n-1}=\sum r\cdot {}_n{\mathrm{C}}_r{x}^{r-1}$$

$x=1$ を代入すれば

$$\sum _{r}r\cdot {}_n{\mathrm{C}}_r=n\cdot 2^{n-1}$$

「$n$ 人から委員会を作り、その中から委員長を $1$ 人選ぶ」方法の数が、この式の意味だ(左辺は人数 $r$ で場合分け、右辺は「委員長を先に選び、残りを入れる・入れないで決める」)。

$1$ つの定理に、いろいろな値を代入し、微分もしてみる。 そのたびに新しい等式が生まれる — 二項定理は、等式の生成装置なのだ。数学の道具は、決まった使い方だけで終わらせるにはもったいない。

別解

二項定理を使わず、地道に $2$ 乗を $2$ 回でも展開できる。答え合わせに使えるし、公式が不安なときの保険になる。

$4$ 乗を、$2$ 乗の $2$ 乗と見る。

$$(x+2{)}^4={\left\{(x+2{)}^2\right\}}^2$$

まず $2$ 乗する。

$$(x+2{)}^2=x^2+4x+4$$

それをもう $1$ 回 $2$ 乗する。

$$(x^2+4x+4{)}^2$$

$3$ 項の $2$ 乗だから、$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ を使う。$a=x^2$、$b=4x$、$c=4$ として

• $a^2=x^4$
• $b^2=16x^2$
• $c^2=16$
• $2ab=2\cdot x^2\cdot 4x=8x^3$
• $2bc=2\cdot 4x\cdot 4=32x$
• $2ca=2\cdot 4\cdot x^2=8x^2$

足し合わせる。

$$x^4+8x^3+(16+8)x^2+32x+16=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$$

二項定理と同じ答え ✓。

手間を比べてほしい。 $2$ 乗を $2$ 回やる方法は、$4$ 乗くらいまでなら実用的だ。しかし $(x+2{)}^{10}$ になったら? $2$ 乗を $3$ 回半 $\dots$ 現実的でない。

二項定理なら、$10$ 乗でも $100$ 乗でも、$1$ 行で書ける。

$$(x+2{)}^{10}=\sum _{r=0}^{10}{}_{10}{\mathrm{C}}_r{x}^{10-r}{2}^r$$

しかも「$x^3$ の係数だけ知りたい」なら、$1$ 項だけ計算すればよい。

$${}_{10}{\mathrm{C}}_7\cdot 2^7=120\times 128=15360$$

全部展開せずに、欲しい項だけを取り出せる — これが二項定理の本当の威力だ(次の問題で正面から使う)。

検算は $x=1$ で。

$$(1+2{)}^4=3^4=81$$

展開した式に $x=1$ を入れると

$$1+8+24+32+16=81✓$$

係数の和が $81$。ぴったり合った。

この検算は、二項定理そのものの帰結でもある。 $(x+2{)}^n$ に $x=1$ を入れると $3^n$ — つまり係数の和は必ず $3^n$。$x=1$ を代入するだけで、展開の正しさが確かめられる。$5$ 秒の保険を、毎回かける。