比例式の条件つき等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問と同じ配置だから、同じ第一手。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおく。

$a=bk$、$c=dk$ を左辺・右辺の両方に代入する。

左辺は分子・分母から $k^2$ がくくり出せて $k^2$。右辺も $k^2$。両辺が同じ値に落ちれば証明完了だ。2乗が絡んでも、$k$ 方式の手順は何も変わらない。

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおくと $a=bk$、$c=dk$。

左辺:

$$\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^2+d^2}=\frac{(b^2+d^2)k^2}{b^2+d^2}=k^2$$

右辺:

$$\frac{ac}{bd}=\frac{bk\cdot dk}{bd}=\frac{bd{k}^2}{bd}=k^2$$

両辺とも $k^2$ で等しい。$■$

発展 — 一歩先へ。 条件つき等式の証明は、「条件で文字を減らす($=k$)」か「差を作って条件の因数を見つける」の二本立てだ。条件が $a+b+c=0$ 型のときも、この2つ($c=-a-b$ の代入か、差の中に $a+b+c$ を探すか)がそのまま主戦力になる。

今日の左辺 $\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$ と右辺 $\frac{ac}{bd}$ が等しいという事実は、比が等しい2組の数では「2乗の和の比」も「積の比」も元の比の2乗に一致する、という比例式の増殖性を示している。

別解

積の等式で攻めると、きれいな因数分解が姿を見せる。

条件は $ad=bc$。示したい等式の分母を払うと $(a^2+c^2)bd=ac(b^2+d^2)$、つまり

$$a^{2}bd+b{c}^{2}d-a{b}^{2}c-ac{d}^2=0$$

を示せばよい。この左辺、実は因数分解できる。前2項と後2項を組み直すと

$$(ad-bc)(ab-cd)$$

条件 $ad-bc=0$ から、積は確かに $0$。証明が終わる。

「差を作って因数分解し、条件の因数を見つける」のは、等式証明のもう1つの型だ。$ad-bc$ という条件の形が、差の中に因数としてそのまま埋まっている様子は、$k$ 方式では見えない風景である。