分数式の加法・減法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数の足し引きは通分から。分数式でも同じだ。

分母は $x-1$ と $x+1$。共通の分母は、$2$ つを掛けたもの。

$$(x-1)(x+1)=x^2-1$$

それぞれの分数を、共通の分母に書き直す。

$$\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)},\frac{1}{x+1}=\frac{(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

分子を引く。ここが最大の急所だ。

$$2(x+1)-(x-1)$$

引くほうにはカッコがついている。 展開すると

$$2x+2-x+1=x+3$$

$-(x-1)=-x+1$。 $-x-1$ としてしまうのが、この単元で最も多い事故である。引き算のカッコは、必ず書いてから開く。

分母をそろえる。共通の分母は $(x-1)(x+1)$。第1項は分子・分母に $(x+1)$ を、第2項は $(x-1)$ をかける。

$$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$$

分子どうしを引く。引くほうはカッコをつけて、符号に注意する。

$$=\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2-x+1}{x^2-1}=\frac{x+3}{x^2-1}$$

(引き算のとき $-(x-1)=-x+1$ と、符号がすべて変わるところが最大の注意点だ。)

発展 — 一歩先へ。 分数式をばらす技が、いちばん劇的に効くのが数列の和である。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$$

このまま足そうとしても手が出ない。しかし部分分数に分解すると

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

書き並べてみる。

$$\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$

隣どうしが、次々に打ち消し合う。 $-\frac{1}{2}$ と $+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$ と $+\frac{1}{3}$ $\dots$ 残るのは、最初と最後だけ。

$$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

$n$ 個の項の和が、$2$ 項の引き算に畳み込まれた。

望遠鏡の筒が縮むように、途中が全部消える — この現象を望遠鏡和と呼ぶ。

しかも、$n\to \infty$ とすれば

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}=1$$

無限個の分数を足したのに、答えはぴったり $1$。

ばらす技 $1$ つで、無限和が解けてしまった。 「通分の逆をやる」という地味な作業が、こんな景色に通じている — 計算技術は、それ自体が目的ではなく、遠くへ行くための足なのだ。

別解

この計算は、後で学ぶ「部分分数分解」の逆向きになっている。その関係を知っておくと、両方が身につく。そのうえで、数値検算の習慣を固めよう。

まず検算。$x=0$ を代入する。

元の式: $\frac{2}{0-1}-\frac{1}{0+1}=-2-1=-3$

答えの式: $\frac{0+3}{0-1}=\frac{3}{-1}=-3$ ✓

$x=2$ でも試す。

元の式: $\frac{2}{1}-\frac{1}{3}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

答えの式: $\frac{2+3}{4-1}=\frac{5}{3}$ ✓

$2$ 点で合った。符号ミスをしていない証拠だ。

分数式の計算では、この検算がとりわけ効く。 $-(x-1)$ の符号を間違えると $\frac{x+1}{x^2-1}$ という(約分できてしまう)違う答えになるが、$x=0$ を入れれば $-1$ となり、正しい $-3$ と合わない — 一瞬でミスが露見する。

さて、この計算を逆から見てみよう。

いま作ったのは、こういう変形だった。

$$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}⟶\frac{x+3}{x^2-1}$$

$2$ つの簡単な分数を、$1$ つのややこしい分数にまとめた。

では、逆はできるか? つまり $\frac{x+3}{x^2-1}$ を見て、$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}$ に分解できるか。

これが部分分数分解である。次の問題で正面から学ぶ技だ。

$$\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$$

とおいて $a$、$b$ を求めれば、$a=2$、$b=-1$ が出てくる。

通分は「まとめる」、部分分数分解は「ばらす」。 $2$ つは互いの逆操作だ。

なぜ「ばらす」必要があるのか。 分数式は、ばらしたほうが扱いやすい場面が多いからだ。

• 数列の和: $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ とばらすと、次々に打ち消し合って和が求まる(望遠鏡のように畳まれる)
• 積分(数III): $\frac{1}{x^2-1}$ はそのままでは積分できないが、$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$ にばらせば、$\log$ の形で積分できる

ばらすと、道具が使えるようになる。

通分の練習は、部分分数分解の準備運動なのだ。「まとめる」と「ばらす」— どちらの向きにも自由に行き来できるようになることが、この単元の目標である。