数学II / 式と証明

単位円上の点の不等式

★★★ 応用不等式の証明

問題

実数 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 、 $y$ が $a^{2} + b^{2} = 1$ 、 $x^{2} + y^{2} = 1$ を満たすとき、 $a x + b y \leq 1$ が成り立つことを証明せよ。

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『 $2$ 乗の和どうしの積は、積の和の $2$ 乗以上』という形の不等式を思い出せるか。条件の $= 1$ を流し込むと、 $a x + b y$ の上限が見える。

解答・解説

$(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \geq (a x + b y)^{2}$ (コーシー)に条件を入れると、 $(a x + b y)^{2} \leq 1$ 。あとは $a x + b y \leq ∣ a x + b y ∣ \leq 1$ 。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コーシー・シュワルツ $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \geq (a x + b y)^{2}$ に、条件 $a^{2} + b^{2} = 1$ 、 $x^{2} + y^{2} = 1$ を流し込む。

すると $(a x + b y)^{2} \leq 1$ 。あとは絶対値ではさめば $a x + b y \leq 1$ が出る。

「証明済みの強い不等式に条件を代入する」。この道具の再利用が発想だ。

公式コーシー・シュワルツの不等式

(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \geq (a x + b y)^{2}

条件 $a^{2} + b^{2} = 1$ 、 $x^{2} + y^{2} = 1$ を代入すると

$1 \times 1 \geq (a x + b y)^{2} すなわち (a x + b y)^{2} \leq 1$

$2$ 乗が $1$ 以下なので $- 1 \leq a x + b y \leq 1$ 。よって特に

$a x + b y \leq 1$

が成り立つ。 $■$

(等号は $a y = b x$ かつ条件を満たすとき、つまり $(x, y) = (a, b)$ のとき成り立つ。)

単位円上の2点 (a,b),(x,y)。ax+by はなす角θ の cos。θ=0(2点が一致)で最大1 ⇒ ax+by≤1

発展 — 一歩先へ。 $a^{2} + b^{2} = 1$ を固定し、 $a x + b y$ を単位円上の点 $(x, y)$ の関数として最大化してみる。

最大は $(x, y) = (a, b)$ のときで、値は $1$ 。つまり「半径 $1$ の円上で $1$ 次式 $a x + b y$ を最大化する」と、答えは係数ベクトルの長さ $a^{2} + b^{2} = 1$ に等しい。

一般に、半径 $r$ の円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上での $a x + b y$ の最大値は $r a^{2} + b^{2}$ 。円や領域の上で $1$ 次式を最大化するのは線形計画法の考え方で、最大を与える境界の点が、係数ベクトルの向きを表している。

答

コーシーの不等式より $(a x + b y)^{2} \leq 1$ 、よって $a x + b y \leq 1$ (証明は解答参照)

別解 — 角で表して余弦に読みかえる(苦手な人向けの幾何ルート)。 $2$ 点は単位円上にあるから、角度で表せる。

$a = cos α$ 、 $b = sin α$ 、 $x = cos β$ 、 $y = sin β$ とおく。すると

$a x + b y = cos α cos β + sin α sin β = cos (α - β) .$

余弦は必ず $1$ 以下だから $a x + b y = cos (α - β) \leq 1$ 。等号は $α = β$ 、すなわち $2$ 点が一致する $(x, y) = (a, b)$ のとき。

$a x + b y$ が「 $2$ 点のなす角の余弦」だと見えるのがこのルートの利点で、図の $θ$ がそのまま効く。本解と同じ答えだ。