数値代入による恒等式の係数決定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 恒等式の係数決定は「数値代入」が速い。右辺の各因数が $0$ になる $x$ を選ぶと、項が次々に消える。

まず最高次の係数比較。左辺の $x^3$ と右辺の $a{x}^3$ を比べて $a=1$。

あとは $x=1$(第 $2,3,4$ 項が消えて $d$ だけ残る)、$x=2$($c(x-1)$ と $d$ が残る)、$x=3$($b$ の項まで残る)を順に代入すると、$d,c,b$ が芋づる式に決まる。

① 最高次で $a$。 右辺の $x^3$ の係数は $a$(第 $1$ 項だけが $3$ 次)。左辺の $x^3$ の係数は $1$。よって $a=1$。

② $x=1$ を代入 → $d$。 $(x-1)$ を含む項がすべて $0$ になり、残るのは $d$。

$$1^3=d⟹d=1$$

③ $x=2$ を代入 → $c$。 $(x-1)(x-2)$ を含む項が $0$。

$$2^3=c(2-1)+d=c+1⟹8=c+1⟹c=7$$

④ $x=3$ を代入 → $b$。

$$3^3=b(3-1)(3-2)+c(3-1)+d=2b+2c+d=2b+14+1⟹27=2b+15⟹b=6$$

よって $a=1,b=6,c=7,d=1$。

まとめ:因数が階段状に並ぶ恒等式は「最高次で $a$、あとは因数が $0$ になる値を順に代入」。$x=1,2,3$ で $d,c,b$ が芋づる式に決まる。展開して係数比較するより圧倒的に速い。

発展 — 一歩先へ。 $x^3$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ 系で展開する(別解の組立除法)のは、ニュートンの前進差分による補間。一般に、$n$ 次多項式は $(x-a_0)(x-a_1)\cdots$ の形の基底で一意に表せ、係数は差分商 $f[a_0,\dots ,a_k]$ で与えられる。データ点から多項式を復元する数値計算(補間法)の基礎だ。

別解

別解 — 組立除法(順に割っていく)で係数を出す(得意な人向けの視点)。 右辺の形 $a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d$ は、$x^3$ を $(x-1),(x-2),(x-3)$ で“ニュートンの補間”したもの。組立除法で係数が順に出る。

$x^3$ を $(x-1)$ で割ると商 $x^2+x+1$、余り $1$。だから $d=1$(定数項に相当)。

商 $x^2+x+1$ を $(x-2)$ で割ると商 $x+3$、余り $7$。だから $c=7$。

商 $x+3$ を $(x-3)$ で割ると商 $1$、余り $6$。だから $b=6$、最後の商 $a=1$。

数値代入(本解)で $x=1,2,3$ を入れるのと同じ結果 $(a,b,c,d)=(1,6,7,1)$。組立除法は、$(x-1),(x-2),(x-3)$ で順に割った余りが $d,c,b$、最後の商が $a$ になる、という機械的な手順。ニュートンの前進差分による補間公式そのものだ。