数学II / 式と証明

高次式を2次式で割った余り

★★ 標準多項式の割り算

問題

$x^{2024} + x + 1$ を $x^{2} - 1$ で割った余りを求めよ。

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$2$ 次式で割った余りは $1$ 次以下だから、余りを文字でおける。割られる式=割る式×商+余り、の関係式に、割る式が $0$ になる $x$ の値を入れると商の項が消える。

解答・解説

余りは1次式 $a x + b$ とおける。 $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ が $0$ になる $x = 1, - 1$ を代入すると、 $a$ 、 $b$ が決まる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{2024}$ を実際に割ることはできない。割り算の等式 $P (x) = (x^{2} - 1) Q (x) + a x + b$ を書いて、 $Q (x)$ を消す作戦に出る。

$Q (x)$ を消すには、 $x^{2} - 1$ が $0$ になる値、 $x = 1, - 1$ を代入すればよい。

2回の代入で $a, b$ の連立方程式ができる。「割る式の根を代入して商を消す」は、余りの問題の背骨である。

割る式は $2$ 次だから、余りは1次以下。 $x^{2024} + x + 1 = (x^{2} - 1) Q (x) + a x + b$ とおく。

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ なので、 $x = 1$ 、 $x = - 1$ を代入すると右辺の $(x^{2} - 1) Q (x)$ が消える。

$x = 1$ :左辺 $1^{2024} + 1 + 1 = 3$ 、右辺 $a + b$ 。よって $a + b = 3$ 。

$x = - 1$ :左辺 $(- 1)^{2024} - 1 + 1 = 1$ 、右辺 $- a + b$ 。よって $- a + b = 1$ 。

2式を解いて $a = 1$ 、 $b = 2$ 。よって余りは

$x + 2$

( $x^{2024} = (x^{2})^{1012}$ は $x = \pm 1$ でともに $1$ 。割る式の根を代入するのが、この型のカギだ。)

発展 — 一歩先へ。 次数下げの置き換え規則は、割る式で決まる。 $x^{2} + 1$ で割るなら $x^{2} \to - 1$ 、 $x^{2} - x - 1$ なら $x^{2} \to x + 1$ 。「割る式 $= 0$ 」を移項した形が、そのまま置き換えの辞書になる。

この見方は、複素数と方程式の単元( $ω$ の計算、 $x^{100}$ を $x^{2} + x + 1$ で割る型)で主役に昇格する。巨大な指数を周期で折りたたむ技として、覚えておく価値が高い。

答

$x + 2$

「次数下げ」の見方も強力だ。余りの世界では、 $x^{2} - 1$ の分だけ自由に引いてよい。つまり $x^{2}$ を $1$ に置き換えてよい。

$x^{2}$ を $1$ とみなすと

$x^{2024} = (x^{2})^{1012} \to 1^{1012} = 1$

だから $x^{2024} + x + 1$ は、余りの世界では $1 + x + 1 = x + 2$ と同じもの。次数が1次以下まで下がったこれが、そのまま余りである。

代入ルートが「値の連立」で攻めるのに対し、次数下げは「式のまま」置き換えで進む。指数が巨大なときほど、 $(x^{2})^{1012}$ の一撃で片づくこの見方が気持ちよく決まる。整数の合同式( $10 \equiv 1$ を使う桁の議論)と同じ発想の、多項式版だ。