比例式を用いた等式の証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 比例式が出たら「$=k$ とおく」のが定石。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とすると $a=bk$、$c=dk$。

これを両辺に代入して、両方が同じ式($k^2$)になることを示す。

左辺 $\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^2+d^2}=k^2$。右辺 $\frac{ac}{bd}=\frac{bk\cdot dk}{bd}=k^2$。両方 $k^2$ で一致。

① 比を $k$ とおく。 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおくと $a=bk$、$c=dk$。

② 左辺を計算する。

$$\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(bk{)}^2+(dk{)}^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}=k^2$$

③ 右辺を計算する。

$$\frac{ac}{bd}=\frac{(bk)(dk)}{bd}=\frac{bd{k}^2}{bd}=k^2$$

④ 結論。 左辺 $=$ 右辺 $=k^2$ だから、等式は成り立つ。(証明終)

まとめ:比例式の条件つき等式は「$=k$ とおいて代入」。文字が減って両辺が $k$ の式になり、同じ式になることを見れば証明できる。分母が $0$ でない条件のもとで、約分がきちんと効くのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 加比の理「$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$」は、比例式の変形の万能ツール。連比 $a:b:c=x:y:z$ を扱うときや、複数の比をまとめるときに効く。比を $=k$ とおくのと同値だが、$k$ を導入せずに済むので証明が簡潔になる。

別解

別解 — 加比の理(比の合成)で示す(得意な人向けの視点)。 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ から、比の性質を組み合わせて示す。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ の両辺を$2$乗すると $\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}$。

比が等しいとき、「分子どうし・分母どうしを足した比」も同じ(加比の理): $\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$。

一方、$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ の両辺を掛け合わせると $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$。これは ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}$ に等しい($\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ だから $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}$)。

$\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$ も $\frac{ac}{bd}$ も $\frac{a^2}{b^2}$ に等しいので、互いに等しい。

$=k$ とおく本解と同じだが、加比の理「$\frac{p}{q}=\frac{r}{s}\Rightarrow \frac{p}{q}=\frac{p+r}{q+s}$」を使うと、文字 $k$ を導入せずに比の変形だけで示せる。比例式の証明は「$=k$ とおく」か「加比の理」の $2$ 択が定番だ。