数学II / 式と証明

2のべきの積と等比数列の和

最難関編恒等式望遠鏡式

問題

(1) 次の等式を示せ。

$(1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) (1 + x^{8}) = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{15}$

(2) 一般に、0以上の整数 $n$ に対して次の等式を示せ。

$(1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) \dots (1 + x^{2^{n}}) = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{2^{n + 1} - 1}$

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左端に「あと1つ因子があれば連鎖が起きる」形が見えないか。 $(1 - x) (1 + x)$ から始まる連鎖 — 掛けて畳む、が効く。掛けたものは最後に外せることも忘れずに。

解答・解説

方針

そのまま展開すると項が爆発する。両辺に 1−x を掛けると、左辺は (1−x)(1+x)=1−x²、(1−x²)(1+x²)=1−x⁴、…と次々に畳まれて 1−x^{2^{n+1}} だけが残る。右辺×(1−x) も同じ値になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)を正直に展開しても16項で確かめられる。だが(2)の一般形はそうはいかない。

左辺の並び $1 + x, 1 + x^{2}, 1 + x^{4}, \dots$ を見て、「 $1 - x$ を1つ補えば、和と差の積の連鎖が起きる」ことに気づけるか。 $(1 - x) (1 + x) = 1 - x^{2}$ 、 $(1 - x^{2}) (1 + x^{2}) = 1 - x^{4}$ 、…と、掛けるたびに指数が倍になって畳まれていく。

右辺も $1 - x$ を掛ければ、等比数列の和の公式の形。両辺とも同じ1つの式に潰れる。

公式和と差の積

(1 - t) (1 + t) = 1 - t^{2}

の連鎖。等比数列の和

(1 - x) (1 + x + \dots + x^{m - 1}) = 1 - x^{m}

① 左辺に $1 - x$ を掛ける((2)を示す)。

$(1 - x) (1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) \dots (1 + x^{2^{n}}) = (1 - x^{2}) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) \dots (1 + x^{2^{n}})$

$= (1 - x^{4}) (1 + x^{4}) \dots (1 + x^{2^{n}}) = \dots = (1 - x^{2^{n}}) (1 + x^{2^{n}}) = 1 - x^{2^{n + 1}}$

② 右辺に $1 - x$ を掛ける。 等比数列の和の公式(を積の形で読んだもの)から

$(1 - x) (1 + x + x^{2} + \dots + x^{2^{n + 1} - 1}) = 1 - x^{2^{n + 1}}$

③ 結論。 ①②より、両辺の差を $P (x)$ とすると $(1 - x) P (x)$ は恒等的に0。 $1 - x$ は0でない多項式だから $P (x)$ は恒等的に0、すなわち両辺は多項式として等しい( $x = 1$ を含むすべての $x$ で成り立つ)。(1)は $n = 3$ の場合である。

まとめ: 「足りない因子を掛けて連鎖を起こし、最後に外す」— 積の望遠鏡の型だ。掛けた $1 - x$ を外す③の一言(多項式として割ってよい理由)まで書いて、証明が閉じる。

発展 — 一歩先へ。 (1)に $x = 2$ を代入してみると、 $3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 = 65535 = 2^{16} - 1$ 。左辺に並ぶのは $2^{2^{k}} + 1$ 型の数(フェルマー数)で、「フェルマー数の積は $2^{2^{n + 1}} - 1$ より1小さい数になる」という整数の等式が、この恒等式の1つの断面として出てくる。

答

証明(両辺に $1 - x$ を掛けると、左辺は畳まれて $1 - x^{2^{n + 1}}$ 、右辺も同じ)

別解

2進法の数え上げで係数を見る(得意な人向け)。 掛けて畳む代わりに、「展開したとき何が起こるか」を数え上げの目で見る。

左辺を展開した1つの項は、各因子 $1 + x^{2^{k}}$ から「 $1$ を取るか $x^{2^{k}}$ を取るか」を選んだ積だ。 $x^{2^{k}}$ を取った因子の集まりを $S$ とすると、その項は

$x^{(S の指数の和)}$

つまり、指数として現れるのは「 $1, 2, 4, \dots, 2^{n}$ から選んだ和」で、その選び方1つにつき項が1つ。

ここで2進法の一意性が効く。 $0$ から $2^{n + 1} - 1$ までのどの整数も、 $1, 2, 4, \dots, 2^{n}$ の和としてちょうど1通りに書ける。だから展開後、 $x^{m}$ ( $0 \leq m \leq 2^{n + 1} - 1$ )の係数はすべてちょうど1。これは右辺そのものだ。

恒等式の正体は「2進法表示の一意性」だった。代数の等式と数え上げの事実が、同じものの2つの言い方になっている。

ポイント

$1 - x$ を掛けると左辺は連鎖して $1 - x^{2^{n + 1}}$ 。
右辺 × $(1 - x)$ も $1 - x^{2^{n + 1}}$ 。
係数がすべて1 ⟺ 2進法表示の一意性(別の顔)。

よくある間違い

掛けた $1 - x$ を外す論理(多項式として $(1 - x) P \equiv 0$ なら $P \equiv 0$ )を飛ばす。 $x = 1$ の場合が気になったら、この一言で解消する。
連鎖の途中を書き飛ばして指数を誤る。 $1 - x^{2} \to 1 - x^{4} \to 1 - x^{8}$ と、毎回ちょうど倍になる。
(1)を16項の展開で確かめて、(2)で手が止まる。一般化に耐える方法(畳む・数える)を最初から選ぶ。