数学II / 式と証明

繁分数式の整理

★★ 標準分数式

問題

次の式を簡単にせよ。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

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分数の中に分数が入った形は、まず内側の小さい分数を消すのが先。分子と分母に同じものをかけて一掃できないか。何をかければ全部消えるだろう。

解答・解説

分子・分母に共通の $x y$ をかけると、中の小さい分数が一気に消える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数の中に分数が入った繁分数式。見た目に負けず、「小さい分数を消す」ことだけ考える。

分子・分母の中の分数の分母は $x$ と $y$ 。その最小公倍数 $x y$ を、外側の分子と分母の両方にかける。

$\frac{( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} ) \times x y}{( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) \times x y} = \frac{y - x}{y + x}$

一度の掛け算で入れ子が消える。「分子・分母に同じものをかけても値は不変」という分数の原理そのものだ。

分子・分母に $x y$ をかける(中の分母を払う)。

分子: $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) \times x y = y - x$ 。

分母: $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \times x y = y + x$ 。

よって

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{y - x}{y + x}$

(繁分数は『分子・分母に共通の数をかけて小さい分数を消す』のが速い。)

発展 — 一歩先へ。 繁分数を次々に入れ子にした $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}$ という形は連分数と呼ばれ、 $2$ や黄金比の近似分数を生み出す装置として数学史に輝いている。互除法とも深くつながる話題だ。

実用面では、電気回路の並列抵抗 $\frac{1}{\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}}$ など、逆数の和の形は自然科学の随所に現れる。今日の整理術はその読み書きの基礎である。

答

$\frac{y - x}{y + x}$

「中を先に片づけてから割る」2段ルートも、着実で間違えにくい。

まず分子を通分する。 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{x y}$ 。

分母も通分する。 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{x y}$ 。

繁分数は「分子 ÷ 分母」だから

$\frac{y - x}{x y} \div \frac{y + x}{x y} = \frac{y - x}{x y} \times \frac{x y}{y + x} = \frac{y - x}{y + x}$

一括で $x y$ をかける本解と、通分してから割る別解。手数は別解のほうが多いが、1歩ずつが小さいので事故が起きにくい。複雑な繁分数(3段以上の入れ子)では、内側から1段ずつ潰すこの方式が安全網になる。