条件つき不等式(和が1のもとでの積)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{a}-1$ という形は、通分すると $\frac{1-a}{a}$。ここで条件 $a+b+c=1$ が効いて、$1-a=b+c$ と書き換えられる。

つまり左辺は $\frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}$。分子の各因数は2数の和だから、相加相乗平均の出番だ。

$b+c\ge 2\sqrt{bc}$ を3つ作って掛け合わせると、根号がきれいに消えて $8abc$ が現れる。

① 条件で書き直す。 $a+b+c=1$ より $1-a=b+c$。よって $\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}$。同様に他も書き直すと $$\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)=\frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}.$$ ② 各因数に相加相乗。 $a,b,c>0$ より $$b+c\ge 2\sqrt{bc},c+a\ge 2\sqrt{ca},a+b\ge 2\sqrt{ab}.$$ 辺々掛けて $$(b+c)(c+a)(a+b)\ge 8\sqrt{bc}\sqrt{ca}\sqrt{ab}=8\sqrt{a^2{b}^2{c}^2}=8abc.$$ ③ 結論。 両辺を $abc(>0)$ で割って $$\frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}\ge 8.$$ 等号は $b=c,c=a,a=b$ が同時、すなわち $a=b=c=\frac{1}{3}$。

まとめ 条件で $\frac{1}{a}-1=\frac{b+c}{a}$ と書き直し、$(b+c)(c+a)(a+b)\ge 8abc$(相加相乗)を使うと $\ge 8$、等号 $a=b=c=\frac{1}{3}$。条件の書き直しと相加相乗の融合。

発展 — 一歩先へ。 $n$ 変数でも、正の数の和が $1$ なら $\prod \left(\frac{1}{a_i}-1\right)\ge (n-1{)}^n$ が同じ論法で成り立つ(等号は全部 $\frac{1}{n}$)。$8=2^3$ はその $n=3$ の場合だ。$n=2$ では積が常にちょうど $1$ になる、という小さな驚きもある(通分して確かめてみよう)。

別解

別解 — 条件を先に使い切って「逆数の和 $\ge 9$」へ(得意な人向けの高い視点)。 分子は対称式の恒等式で

$$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$

と書ける。$a+b+c=1$ だから分子は $ab+bc+ca-abc$。示すべき不等式は

$$ab+bc+ca-abc\ge 8abc⟺ab+bc+ca\ge 9abc.$$

両辺を $abc>0$ で割ると $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 9$。$a+b+c=1$ を思い出せば、これは $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9$ のことで、コーシー・シュワルツ(または相加相乗2回)で示せる有名な形だ。等号は $a=b=c=\frac{1}{3}$。

「3つの相加相乗を掛ける」本解と、「条件で展開して既知の不等式に潰す」この解。同じ山の別ルートである。