分数式の絶対値が1未満であること

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 示すべきは $|a+b|<|1+ab|$。絶対値どうしの比較は、2乗の差が扱いやすい。

$(1+ab{)}^2-(a+b{)}^2$ は「和と差の積」で一気に因数分解できて、整理すると $(1-a^2)(1-b^2)$。仮定 $|a|<1,|b|<1$ がそのまま「正」を保証する形になる。

分母が0にならないこと($1+ab>0$)を先に押さえておくのが作法だ。

① 分母の符号。 $|ab|=|a||b|<1$ だから $ab>-1$、すなわち

$$1+ab>0$$

とくに分母は0でない。

② 2乗の差を因数分解する。

$$(1+ab{)}^2-(a+b{)}^2=\{(1+ab)+(a+b)\}\{(1+ab)-(a+b)\}$$

前の因子は $1+a+b+ab=(1+a)(1+b)$、後の因子は $1-a-b+ab=(1-a)(1-b)$。よって

$$(1+ab{)}^2-(a+b{)}^2=(1+a)(1-a)(1+b)(1-b)=(1-a^2)(1-b^2)$$

③ 仕上げ。 $|a|<1,|b|<1$ より $1-a^2>0,1-b^2>0$ だから

$$(1+ab{)}^2>(a+b{)}^2⟹|a+b|<1+ab=|1+ab|$$

両辺を正の数 $|1+ab|$ で割って $\left|\frac{a+b}{1+ab}\right|<1$。

まとめ: 差の2乗の因数分解 $(1-a^2)(1-b^2)$ がすべてだ。「1より小さい2数から作ったこの分数は、また1より小さい」という閉じた構造をもつ、名のある形である。

発展 — 一歩先へ。 この分数は、相対性理論の速度の合成則そのものだ。光速を1とすると、速度 $a$ の船から速度 $b$ で打ち出したものの地上から見た速度が $\frac{a+b}{1+ab}$。光速未満どうしをどう合成しても光速を超えない — 本問の不等式は、その数学的な骨格である。

別解

2乗しないで、両側から直接はさむ(すっきりルート)。 ②の因数分解の部品を、2乗を経由せずにそのまま使うこともできる。

$|a|<1,|b|<1$ から $1-a,1+a,1-b,1+b$ はすべて正。だから

$$(1+ab)-(a+b)=(1-a)(1-b)>0,(1+ab)+(a+b)=(1+a)(1+b)>0$$

2つの式は、それぞれ $a+b<1+ab$ と $-(1+ab)<a+b$ を意味する。あわせて

$$-(1+ab)<a+b<1+ab$$

つまり $|a+b|<1+ab$。①の $1+ab>0$ で割って結論が出る。

2乗の差(本解)は1本の式で済む代わりに展開が要る。両側評価(本ルート)は式が2本になる代わりに、因数分解が直接見える。同じ2つの因数 $(1\mp a)(1\mp b)$ の、2通りの使い方だ。