数学II / 式と証明

比例式と等式の証明

★★ 標準等式の証明比例式

問題

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、 $\frac{a + c}{b + d} = \frac{a}{b}$ が成り立つことを証明せよ(分母は $0$ でないとする)。

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比例式の証明は、比の値を $1$ つの文字でおくと見通しがよくなる。おいた文字で $a$ と $c$ を表して左辺に入れると、約分できる形が現れる。

解答・解説

比例式は『 $= k$ とおく』のが定番。 $a = bk$ 、 $c = d k$ と表して、両辺がともに $k$ になることを示す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 比例式の証明の定番は「 $= k$ とおく」だ。 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ と共通の値に名前を付ける。

すると $a = bk$ 、 $c = d k$ と、4文字が2文字と $k$ で書き直せる。

あとは示したい式の左辺に代入して、 $k$ になることを確かめるだけ。分数のまま変形して迷子になるのを、 $k$ という固定点が防いでくれる。

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおく。すると $a = bk$ 、 $c = d k$ 。

左辺に代入する。

$\frac{a + c}{b + d} = \frac{bk + d k}{b + d} = \frac{( b + d ) k}{b + d} = k$

右辺は $\frac{a}{b} = k$ 。よって両辺とも $k$ で等しい。 $■$

(比例式は『 $= k$ とおいて、文字を $k$ で表す』のが証明の王道だ。)

発展 — 一歩先へ。 今日の等式は「加比の理」と呼ばれる性質だ。 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、分子どうし・分母どうしを足した $\frac{a + c}{b + d}$ も同じ比になる。混ぜても濃度が変わらない食塩水のイメージで覚えられる。

比例式は、数学Cのベクトルの成分比や、図形の相似比の計算で絶えず顔を出す。「 $= k$ とおく」「積に払う」の2つの武器は、そのすべての場面で通用する。

答

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおくと両辺とも $k$ (証明は解答参照)

$k$ を置かずに、「分数を払って積の等式で勝負する」道もある。

条件 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ は、分母を払えば $a d = b c$ という積の等式だ。

示したい $\frac{a + c}{b + d} = \frac{a}{b}$ も、分母を払えば $b (a + c) = a (b + d)$ 、展開して

$ab + b c = ab + a d$

つまり $b c = a d$ 。これは条件そのものだ。変形はすべて同値(分母は $0$ でない)だから、証明が完成する。

分数の等式を「たすき掛けの積」に翻訳して代数の土俵で戦うこの方式は、文字の置き方すら不要な最短路になることがある。 $= k$ 方式との使い分けは、連なる比が3つ以上あるか( $a : b : c$ 型なら $k$ が便利)が目安だ。