対称式の不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 差 $a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)$ を、$2$ 乗の和として書きたい。

そのまま眺めても平方は見えない。全体を $2$ 倍すると、$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$ という $3$ つの $2$ 乗の和に化ける。

「$2$ 倍して対称に $2$ 乗を組む」のが定跡だ。等号は $3$ つの $2$ 乗が同時に $0$、つまり $a=b=c$ のときと読める。

差を $2$ 倍して考える。

$$2\{a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)\}=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$$

これを $3$ 組に分ける。

$$=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$$

$2$ 乗の和なので $0$ 以上。よって差も $0$ 以上、つまり

$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$

まとめ:等号は $(a-b{)}^2=(b-c{)}^2=(c-a{)}^2=0$、つまり $a=b=c$ のとき。$■$

発展 — 一歩先へ。 この不等式は「散らばりは $0$ 以上」という事実と同じ内容だ。

$a$、$b$、$c$ の平均を $m$ とすると、$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=\frac{3}{2}\{(a-m{)}^2+(b-m{)}^2+(c-m{)}^2\}$ と書ける。右辺は平均からのずれの $2$ 乗の和、つまり分散に比例する量で、必ず $0$ 以上。等号は散らばりが $0$、すなわち $a=b=c$。

$n$ 変数版は $(n-1)(a_1^2+\cdots +a_n^2)\ge 2{\sum }_{i<j}{a}_i{a}_j$ で、左辺 $-$ 右辺が ${\sum }_{i<j}(a_i-a_j{)}^2$ という平方の和になる。差が半正定値な $2$ 次形式になるのが本質だ。

別解

別解 — $a$ の $2$ 次式とみて判別式で示す(得意な人向けの高い視点)。 不等式を $a$ についての $2$ 次不等式と見る。

左辺 $-$ 右辺を $a$ で整理すると

$$f(a)=a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc).$$

$a^2$ の係数は $1>0$ で下に凸。判別式は

$$D=(b+c{)}^2-4(b^2+c^2-bc)=-3(b-c{)}^2\le 0.$$

判別式が $0$ 以下だから $f(a)$ は常に $0$ 以上、つまり $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$。等号は $D=0$ かつ頂点、すなわち $b=c$ と $a=\frac{b+c}{2}=b$ が重なる $a=b=c$ のとき。$b$、$c$ を定数と見て $1$ 変数の $2$ 次関数に落とすと、判別式が符号を決めてくれる。本解と同じ結論だ。