数学II / 式と証明

不等式の証明(差をとる)

★ 基礎不等式の証明

問題

$a$ 、 $b$ を実数とする。 $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどんなときか。

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『左辺 $-$ 右辺』 $= a^{2} + b^{2} - 2 ab$ を計算する。これは何かの $2$ 乗にまとまらないか? $2$ 乗は必ず $0$ 以上。等号は、その $2$ 乗が $0$ になるとき。

解答・解説

方針

不等式の証明は『(大きいはずの辺) $-$ (小さいはずの辺) $\geq 0$ 』を示すのが基本。差を計算して、 $2$ 乗の形(必ず $0$ 以上)にまとめる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 不等式 $A ≧ B$ を証明するときは、差を作って「 $0$ 以上」を示す。

$A - B ≧ 0 を示せばよい$

この形にすれば、あとは「符号を読む」だけの問題になる。

$a^{2} + b^{2} - 2 ab$

この式は、何かに似ていないだろうか。 $(a - b)^{2}$ の展開そのものだ。

$a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2}$

そして、実数の $2$ 乗は必ず $0$ 以上( $(実数)^{2} ≧ 0$ )。

$(a - b)^{2} ≧ 0$

証明終わり。

等号はいつか。 $(a - b)^{2} = 0$ となるのは $a - b = 0$ 、つまり $a = b$ のとき。等号成立条件は必ず書く — 書かないと減点される。

差をとる。

$a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2}$

$2$ 乗は必ず $0$ 以上だから、 $(a - b)^{2} \geq 0$ 。つまり

$a^{2} + b^{2} - 2 ab \geq 0 すなわち a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$

が成り立つ。

等号が成り立つのは $(a - b)^{2} = 0$ 、つまり $a - b = 0$ 、すなわち

$a = b のとき$

$■$

(不等式の証明は『差をとって、 $2$ 乗など $0$ 以上とわかる形にまとめる』が王道。等号成立は、その $0$ 以上の部分が $0$ になる条件だ。)

発展 — 一歩先へ。 不等式の証明で「両辺を $2$ 乗する」という操作をよく使うが、これは無条件には許されない。

$A ≧ B ⟹ A^{2} ≧ B^{2} ?$

$A = 1$ 、 $B = - 5$ を入れてみる。 $1 ≧ - 5$ は正しいが、 $2$ 乗すると $1 ≧ 25$ — 偽になる。

$2$ 乗が使えるのは、両辺が $0$ 以上のときだけ。

$A ≧ B ≧ 0 ⟹ A^{2} ≧ B^{2}$

この条件を書かずに $2$ 乗すると、答案は減点される。

同じく危ないのが「両辺に掛ける」操作だ。

$A ≧ B の両辺に k を掛ける$

$k > 0$ なら $k A ≧ k B$ (向きはそのまま)
$k < 0$ なら $k A ≦ k B$ (向きが反転する)

負の数を掛けると不等号がひっくり返る — 中学以来の約束だが、文字を掛けるときに忘れやすい。 $x$ の符号が分からないまま両辺に $x$ を掛けてはいけない。

「差をとって $0$ と比べる」という方法が推奨されるのは、こうした落とし穴を避けられるからだ。 差の符号を調べるだけなら、掛け算も $2$ 乗も要らない。安全な道を選ぶ — 証明では、それが実力である。

答

$a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0$ 。等号は $a = b$ のとき(証明は解答参照)

別解

この不等式を、面積の絵で見る。 数式が苦手でも、絵なら「なぜ成り立つのか」が一目で分かる。

$a > 0$ 、 $b > 0$ として、正方形と長方形を描く。

左辺 $a^{2} + b^{2}$ : $1$ 辺 $a$ の正方形と、 $1$ 辺 $b$ の正方形。この $2$ つの正方形の面積の和
右辺 $2 ab$ : 縦 $a$ ・横 $b$ の長方形が $2$ つぶんの面積

問い: $2$ つの正方形の面積の和は、 $2$ つの長方形の面積の和より、必ず大きいか?

答えはイエス。しかも、その理由が図で見える。

$1$ 辺 $(a + b)$ の大きな正方形を、縦横に切って $4$ つに分けると

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

$a$ の正方形、 $b$ の正方形、そして $ab$ の長方形が $2$ つ — これが大きな正方形の中身だ。

ここで、 $2$ 通りの見方をする。

$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab, 2 ab = 2 ab$

$a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a + b)^{2} - 4 ab$

$(a + b)^{2}$ は $1$ 辺 $(a + b)$ の正方形、 $4 ab$ は $ab$ の長方形 $4$ つ分。

$1$ 辺 $(a + b)$ の正方形の中に、 $a \times b$ の長方形を $4$ つ敷き詰められるか? — できない(隙間ができるか、 $a = b$ のときだけぴったり)。だから

$(a + b)^{2} - 4 ab ≧ 0$

この隙間の正体こそ $(a - b)^{2}$ である。

$(a + b)^{2} - 4 ab = (a - b)^{2}$

「はみ出しの正方形」が、不等式の差そのものだった。 $a = b$ のとき隙間が消え( $1$ 辺 $0$ の正方形)、等号が成立する — 図が、等号成立条件まで教えてくれる。

さらに高い視点から。この不等式は、相加相乗平均の関係の変装である。

$a ≧ 0$ 、 $b ≧ 0$ のとき、 $a = (p)^{2}$ 、 $b = (q)^{2}$ と置きかえてみよう。すると $a^{2} + b^{2} ≧ 2 ab$ は

$p + q ≧ 2 pq ⟺ \frac{p + q}{2} ≧ pq$

相加平均 $≧$ 相乗平均 — 次の問題で主役になる関係だ。

そして、この不等式は「証明の型」の見本でもある。

$不等式の証明は「差を作る」 \to 「平方の形にする」 \to 「 0 以上」$

平方に持ち込めるかどうかが、勝負を決める。 平方完成、 $(a - b)^{2}$ 、 $(a - b)^{2} + (b - c)^{2}$ — 不等式の証明の $8$ 割は、この「平方の和」で片づくと言ってよい。

$a^{2} + b^{2} + c^{2} ≧ ab + b c + c a$

も、差をとって

$\frac{1}{2} {(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}} ≧ 0$

同じ型だ。 $2$ 乗の非負性 — たった $1$ つの武器で、不等式の世界を渡っていける。

ポイント

不等式の証明は『差 $\geq 0$ 』を示す
$2$ 乗の形にまとめれば $0$ 以上が言える
等号成立は『 $2$ 乗 $= 0$ 』の条件から求める

よくある間違い

差をとらず、両辺を勝手に操作して同値でない変形をする
等号成立条件を書き忘れる
$a$ 、 $b$ が実数であることを使い忘れる(実数だから2乗が $0$ 以上と言える)