多項式の割り算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 整式の割り算は、数の筆算とまったく同じ手順でできる。

$$(\text{割られる式})=(\text{割る式})\times (\text{商})+(\text{余り})$$

$$2x^3+3x^2-x+4=(x+2)()+()$$

手順は「最高次を消す」の繰り返しだ。

$2x^3$ を消すには、$x$ に何を掛けるか → $2x^2$。これが商の第 $1$ 項。掛けて引く。

残った式の最高次を、また同じように消す。 これを、割る式($1$ 次)より次数が低くなるまで続ける。

余りの次数は、割る式より必ず低い。 $1$ 次式で割るなら、余りは定数(数)になる。

急所は引き算の符号。 引くほうの式は全部の項の符号が変わる — ここで事故が起きる。

筆算の要領で、最高次から順に割る。

$2x^3÷x=2x^2$ → $2x^2(x+2)=2x^3+4x^2$ を引くと、残りは $-x^2-x+4$。

$-x^2÷x=-x$ → $-x(x+2)=-x^2-2x$ を引くと、残りは $x+4$。

$x÷x=1$ → $1\cdot (x+2)=x+2$ を引くと、残りは $2$。

余り $2$ は割る式 $x+2$ より次数が低いので、ここで終わり。

$$\text{商 }2x^2-x+1,\text{余り }2$$

検算は『(割る式)$\times$(商)$+$(余り)$=$(割られる式)』で確かめる:$(x+2)(2x^2-x+1)+2=2x^3+3x^2-x+4$。合っている。

発展 — 一歩先へ。 剰余の定理の特別な場合が、因数定理である。

$$f(k)=0⟺f(x)\text{は}(x-k)\text{で割り切れる}$$

余りが $0$ ということは、割り切れるということ。 当たり前に見えるが、これが高次方程式を解く唯一の入口になる。

$x^3-2x^2-5x+6=0$ を解きたい。$3$ 次方程式の解の公式は(存在はするが)複雑すぎて使えない。そこで

$f(1)=1-2-5+6=0$ を見つける。

因数定理より $(x-1)$ で割り切れる。 組立除法で割ると

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$$

$$x=1,3,-2$$

$3$ 次方程式が、$2$ 次方程式に落ちた。

「$0$ になる値を $1$ つ見つけて、次数を下げる」 — これが高次方程式の定石だ。そして候補の探し方にもコツがある。

整数解の候補は、(定数項の約数)$÷$(最高次の係数の約数)に限られる。 $x^3-2x^2-5x+6$ なら、定数項 $6$ の約数($\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$)を試すだけでよい。やみくもに代入しない。

次数を $1$ つ下げる — この一手のために、剰余の定理と組立除法がある。道具は、目的とセットで理解する。

別解

余りだけなら、$1$ 秒で出る。 そして、商も組立除法を使えば、筆算より圧倒的に速い。$2$ つの武器を身につけよう。

武器1: 剰余の定理(余りを一撃で出す)。

$$f(x)\text{を}(x-k)\text{で割った余りは}f(k)$$

今回は $x+2=x-(-2)$ で割るので、$k=-2$。

$$f(-2)=2(-2{)}^3+3(-2{)}^2-(-2)+4=-16+12+2+4=2$$

余りは $2$ ✓。筆算を $1$ 度もしていない。

なぜこれでよいのか。 割り算の式

$$f(x)=(x+2)\cdot Q(x)+R$$

に、$x=-2$ を代入する。すると $(x+2)$ の部分が $0$ になるので

$$f(-2)=0\cdot Q(-2)+R=R$$

$Q(x)$ が何であろうと消えてしまう — だから余りだけが残る。割る式を $0$ にする値を代入する、これが剰余の定理の心臓部だ。

武器2: 組立除法(商も余りも一気に出す)。

$f(x)=2x^3+3x^2-x+4$ の係数だけを横に並べる。$x=-2$ で割るので、左に $-2$ を置く。

$$\begin{array}{rrrrr}-2& 2& 3& -1& 4\\ & & -4& 2& -2\\ & 2& -1& 1& \boxed{2}\end{array}$$

やり方は「下ろす → 掛ける → 足す」の繰り返し。

1. 先頭の $2$ を、そのまま下に下ろす
2. $2\times (-2)=-4$ を、次の列に書く
3. $3+(-4)=-1$ を下に書く
4. $-1\times (-2)=2$ を、次の列に書く
5. $-1+2=1$ を下に書く
6. $1\times (-2)=-2$ を、次の列に書く
7. $4+(-2)=2$ — これが余り

下の段に出た $2,-1,1$ が商の係数(次数が $1$ つ下がるので $2$ 次式)。

$$Q(x)=2x^2-x+1,R=2$$

筆算と同じ答えが、掛け算と足し算だけで出た ✓。

組立除法の何がいいか。

• 文字($x$、$x^2$)を書かなくてよい → 書き間違いが激減する
• 引き算がない(掛けて足すだけ)→ 符号ミスが構造的に起こらない
• 速い($3$ 次式なら $10$ 秒)

筆算の最大の敵は、引き算の符号だった。組立除法は、その引き算を「負の数を足す」に変換してしまう — ミスの原因を、仕組みで消しているのだ。

ただし、使えるのは $1$ 次式 $(x-k)$ で割るときだけ。 $x^2+1$ のような $2$ 次式で割るときは、素直に筆算する。

検算は必ず。

$$(x+2)(2x^2-x+1)+2=2x^3-x^2+x+4x^2-2x+2+2=2x^3+3x^2-x+4✓$$

割り算をしたら、掛け戻す。 これで間違いはゼロになる。