相加平均・相乗平均と最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a+\frac{4}{a}$ — 足すと大きくなる項と、小さくなる項が、綱引きしている。

$a$ を大きくすれば第 $1$ 項が増え、$a$ を小さくすれば第 $2$ 項が増える。どこかに、ちょうどよい最小値があるはずだ。

$2$ つの正の数の和で、積が定数($a\times \frac{4}{a}=4$)— この形を見たら相加平均・相乗平均の関係である。

$$\frac{a+\frac{4}{a}}{2}\geqq \sqrt{a\cdot \frac{4}{a}}=\sqrt{4}=2$$

$$a+\frac{4}{a}\geqq 4$$

積が定数だから、 ​ の中身が $a$ に依存せず定数になる — これが相加相乗の使いどころだ。

使う前に必ず $2$ つ確認する。

• 両方とも正か? ($a>0$ が条件にある ✓)
• 等号は成立するか? ($a=\frac{4}{a}$ となる $a$ が範囲内にあるか)

$a>0$ なので $\frac{4}{a}>0$。

正の2数 $a$ と $\frac{4}{a}$ に、この関係を使う。

$$a+\frac{4}{a}\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{4}{a}}=2\sqrt{4}=4$$

($a$ と $\frac{4}{a}$ をかけると $a$ が消えて $4$ になるので、右辺が定数 $4$ になる。これが下限だ。)

等号が成り立つのは $a=\frac{4}{a}$、つまり $a^2=4$、$a>0$ より $a=2$ のとき。実際 $a=2$ なら $2+\frac{4}{2}=2+2=4$。

よって

$$a=2\text{ のとき最小値 }4$$

(相加相乗を使うときは『等号が本当に成り立つ $a$ があるか』を必ず確認する。等号が成り立たないと、その値は最小値とは言えない。)

発展 — 一歩先へ。 相加相乗の関係は、$3$ 個以上でも成り立つ。

$$\frac{a+b+c}{3}\geqq \sqrt[3]{abc}(a,b,c>0)$$

一般に $n$ 個で

$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geqq \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

等号は、すべてが等しいとき。

この不等式が語っているのは、深い事実である。

$$\text{「積が一定なら、全部同じ値のときに和が最小」}$$

$$\text{「和が一定なら、全部同じ値のときに積が最大」}$$

"均等が最適" — これは自然界のあちこちに現れる原理だ。

• 周の長さが決まった長方形で、面積が最大なのは正方形(縦 $=$ 横)
• 表面積が決まった立体で、体積が最大なのは球(すべての方向に均等)
• 同じ体積を、最小の表面積で包むのも球 — シャボン玉が丸くなる理由だ

$a+\frac{4}{a}$ の最小値が $a=2$($=$ $2$ 項が等しくなる点)で実現したのも、この原理の現れである。

「偏りは損をする」。 数学の不等式が、世界の形を決めている — 相加相乗は、その最も基本的な言明なのだ。

別解

相加相乗を使わずに、平方完成だけで最小値を出す。 じつは、これが相加相乗の証明そのものになっている。

発想: $\sqrt{a}$ を主役にする。

$a>0$ なので $\sqrt{a}$ が使える。

$$a+\frac{4}{a}=(\sqrt{a}{)}^2+{\left(\frac{2}{\sqrt{a}}\right)}^2$$

この $2$ つの $2$ 乗の和に、$(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$ を逆に使う。

$${\left(\sqrt{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}\right)}^2=a-2\cdot \sqrt{a}\cdot \frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{4}{a}=a-4+\frac{4}{a}$$

つまり

$$a+\frac{4}{a}={\left(\sqrt{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}\right)}^2+4$$

平方完成の形になった。

$2$ 乗は必ず $0$ 以上だから

$$a+\frac{4}{a}\geqq 0+4=4$$

最小値は $4$ ✓。

等号は、$2$ 乗が $0$ のとき。

$$\sqrt{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}=0⟹\sqrt{a}=\frac{2}{\sqrt{a}}⟹a=2$$

$a=2$ のとき最小値 $4$ ✓ — 相加相乗と同じ答えだ。

この式変形が、相加相乗の関係そのものの証明になっている。 一般に、$p,q>0$ として

$$p+q-2\sqrt{pq}=(\sqrt{p}-\sqrt{q}{)}^2\geqq 0$$

$\frac{p+q}{2}\geqq \sqrt{pq}$ の正体は、$(\sqrt{p}-\sqrt{q}{)}^2\geqq 0$ だった。 前問の「$2$ 乗は $0$ 以上」が、ここでも効いている。

別ルート: 微分で確かめる(数IIの範囲)。

$$f(a)=a+\frac{4}{a}⟹f^{\prime }(a)=1-\frac{4}{a^2}$$

$$f^{\prime }(a)=0⟹a^2=4⟹a=2(a>0)$$

増減を調べると、$a=2$ の前後で $f^{\prime }$ の符号が負から正に変わるので、$a=2$ で最小。

$$f(2)=2+2=4✓$$

$3$ つのルートが、同じ答えに着いた。

なぜ等号成立の確認が必要なのか。 ここを軽く見ると、痛い目に遭う。

たとえば $a\geqq 3$ という条件だったらどうか。相加相乗からは $a+\frac{4}{a}\geqq 4$ が言えるが、等号成立の $a=2$ は範囲外だ。実際、$a\geqq 3$ では $f$ は増加していくので、最小値は $a=3$ のときの $3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\approx 4.33$ — $4$ にはならない。

「$\geqq 4$ が成り立つ」ことと「最小値が $4$ である」ことは、まったく別の主張である。 最小値と言うには、その値を実際にとる $a$ が存在することを示さねばならない。

不等式を出したら、必ず「等号はいつか」「その値は範囲内か」を問う。 相加相乗の答案が減点される理由の、ほぼすべてがここにある。