部分分数と和の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(1)$ で部分分数の形を用意し、$(2)$ でそれを和に代入する。

すると隣どうしが打ち消し合い、両端だけが残る。いわゆる望遠鏡和だ。

「バラして、隣接項を相殺させ、両端だけ残す」。これが和の計算の定跡で、$(1)$ は $(2)$ のための道具立てだと見抜く。

(1) 右辺の $\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ を、共通因数 $\frac{1}{k+1}$ でくくる。

$$\frac{1}{k+1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=\frac{1}{k+1}\cdot \frac{(k+2)-k}{k(k+2)}=\frac{1}{k+1}\cdot \frac{2}{k(k+2)}=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}$$

これを $\frac{1}{2}$ 倍すると $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$。確かに成り立つ。

(2) (1)より

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$$

中身は隣の項どうしが打ち消し合う(望遠鏡和)。$k=1$ の $\frac{1}{1\cdot 2}$ と、$k=n$ の $-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ だけが残る。

$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$$

通分して整理する。

$$=\frac{(n+1)(n+2)-2}{4(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$$

発展 — 一歩先へ。 同じ手は、より長い積 $\frac{1}{k(k+1)\cdots (k+m)}$ にも効く。

一般に $\frac{1}{k(k+1)\cdots (k+m)}=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{k(k+1)\cdots (k+m-1)}-\frac{1}{(k+1)\cdots (k+m)}\right)$ と、隣接項の差に書ける。だから和はいつでも望遠鏡和になり、両端だけが残る。

隣り合う項の差で表して和を求めるこの操作は、積分の離散版にあたる差分法だ。$m=1$ なら ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$、$m=2$ が今回、と同じ枠組みで一般化できる。

別解

別解 — 答えを予想して数学的帰納法で固める(得意な人向けの別論法)。 望遠鏡和を使わず、求める式 $S_n=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$ を仮に置き、帰納法で確かめる。

$n=1$ では左辺 $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{6}$、右辺 $\frac{1\cdot 4}{4\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{6}$ で一致する。

$n$ で成り立つとして、次の項 $\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}$ を足す。通分すると分子は $n(n+3{)}^2+4$ で、これは $(n+1{)}^2(n+4)$ と因数分解できる。約分すると和は

$$S_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}$$

となり、$S_n$ の $n$ を $n+1$ に置きかえた形にちょうど等しい。よってすべての $n$ で成り立つ。相殺のしくみを追う本解に対し、帰納法は「予想した式を階段状に確定する」別の論理だ。本解と同じ答えだ。