多項定理による係数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 項の展開だから多項定理を使う。一般項は $\frac{5!}{p!q!r!}{x}^p(2y{)}^q(3z{)}^r$($p+q+r=5$)。

ほしいのは $x^2{y}^{2}z$、すなわち $p=2,q=2,r=1$。指数がこれで確定する。

係数は $\frac{5!}{2!2!1!}$(並べ方)に、$2^q\cdot 3^r=2^2\cdot 3^1$(係数のべき)を掛ける。

① 指数を決める。 $x^2{y}^{2}z$ に対応するのは $x$ を $2$ 個、$2y$ を $2$ 個、$3z$ を $1$ 個。すなわち $p=2,q=2,r=1$($p+q+r=5$)。

② 一般項を作る。

$$\frac{5!}{2!2!1!}{x}^2(2y{)}^2(3z{)}^1$$

③ 係数を計算する。 並べ方 $\frac{5!}{2!2!1!}=\frac{120}{4}=30$、係数部分 $2^2\cdot 3^1=4\cdot 3=12$。よって

$$30\times 12=360$$

まとめ:多項定理は「並べ方 $\frac{n!}{p!q!r!}$ × 各項の係数のべき」。指数の組 $(p,q,r)$ を正しく選び、$2y,3z$ の中の係数 $2,3$ を落とさないのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 多項定理 $(x_1+\cdots +x_m{)}^n=\sum \frac{n!}{k_1!\cdots k_m!}{x}_1^{k_1}\cdots x_m^{k_m}$ の係数 $\frac{n!}{k_1!\cdots k_m!}$ は多項係数。これは「$n$ 個を $m$ 種類に $k_1,\dots ,k_m$ 個ずつ分ける」場合の数でもある。二項係数($m=2$)の一般化で、組合せ論と代数を橋渡しする。

別解

別解 — $y,z$ を固定して $x$ の二項展開を $2$ 段階で(得意な人向けの視点)。 $(x+2y+3z{)}^5=((x)+(2y+3z){)}^5$ とみて、まず $x$ について二項展開する。

$x^2$ の項は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)x^2(2y+3z{)}^3$。ほしいのは $x^2{y}^{2}z$ だから、$(2y+3z{)}^3$ の中の $y^{2}z$ の項を拾う。

$(2y+3z{)}^3$ の $y^{2}z$ の項は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)(2y{)}^2(3z{)}^1=3\cdot 4y^2\cdot 3z=36y^{2}z$。

合わせて $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times 36=10\times 36=360$。

多項定理を一気に使う(本解)代わりに、「$x$ とそれ以外」に $2$ 分して二項展開を $2$ 段重ねる。多項定理 $\frac{5!}{2!2!1!}=30$ に $2^2{3}^1=12$ を掛けた $360$ と一致する。$3$ 項以上の展開は、$2$ 項ずつに分けて二項定理を繰り返すこともできる。