2乗の和の積の不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 大小を示す基本は「差をとる」。左辺から右辺を引いて、$0$ 以上だと分かる形(平方の形)にまとめにいく。

展開すると $a^2{x}^2$ と $b^2{y}^2$ は打ち消し合い、残るのは $a^2{y}^2-2abxy+b^2{x}^2$。

これは $(ay-bx{)}^2$。2乗だから $0$ 以上で、証明が終わる。等号は $ay=bx$ のとき。「差を平方に押し込む」型の代表格だ。

差をとる。左辺・右辺を展開して

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by{)}^2$$

$$=(a^2{x}^2+a^2{y}^2+b^2{x}^2+b^2{y}^2)-(a^2{x}^2+2abxy+b^2{y}^2)$$

$$=a^2{y}^2-2abxy+b^2{x}^2=(ay-bx{)}^2$$

$2$ 乗は $0$ 以上だから $(ay-bx{)}^2\ge 0$。よって

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$$

等号は $ay-bx=0$、つまり $ay=bx$ のとき。$■$

(これはコーシー・シュワルツの不等式の基本形。差が $2$ 乗になるのが証明のカギだ。)

発展 — 一歩先へ。 この不等式はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれ、数学の全域で使われる大物だ。ベクトルの言葉では $|\vec{u}{|}^2|\vec{v}{|}^2\ge (\vec{u}\cdot \vec{v}{)}^2$、つまり「内積は長さの積を超えない」($\cos \theta$ が $1$ を超えない)ことを言っている。

文字を増やした $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (ax+by+cz{)}^2$ も、別解の2次関数方式ならそのまま証明できる(平方の数が3つに増えるだけだ)。差の平方方式では項の整理が大変になるので、一般化には判別式方式が強い。

別解

2次関数の判別式から出す、視点の高い証明もある。

$t$ の関数 $f(t)=(at-x{)}^2+(bt-y{)}^2$ を考える。2乗の和だから、どんな $t$ でも $f(t)\ge 0$ だ。

展開して $t$ について整理すると

$$f(t)=(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t+(x^2+y^2)$$

$a^2+b^2>0$ のとき、下に凸の放物線が $t$ 軸より下に潜らない条件は、判別式が $0$ 以下。

$$\frac{D}{4}=(ax+by{)}^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)\le 0$$

移項すれば示したい不等式そのものだ。等号は $f(t)=0$ となる $t$ がある場合、つまり $at=x$ かつ $bt=y$、比の言葉で $ay=bx$。

「うまい2次関数を作って判別式で落とす」この設計は、より多くの文字の不等式にもそのまま伸びる、汎用性の高い型である。