分数式の乗法・除法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数式の計算は、分数の計算とまったく同じルールで動く。

$$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times \frac{D}{C}$$

割り算は、逆数を掛ける。 ここは小学校からの約束だ。

そして分数式ならではの一手が、因数分解である。

$$x^2-4=(x+2)(x-2),x^2-9=(x+3)(x-3)$$

約分するには、掛け算の形(因数)にしなければならない。 展開したままでは、何と何が共通なのか見えない。

$$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-3)}\times \frac{x+3}{x-2}$$

$(x-2)$ と $(x+3)$ が、上下で消える。 因数分解した瞬間に、答えが見えてくる。

「約分は、因数分解してから」 — 分数式の鉄則である。

まず、割り算を『逆数のかけ算』に直す。

$$\frac{x^2-4}{x^2-9}÷\frac{x-2}{x+3}=\frac{x^2-4}{x^2-9}\times \frac{x+3}{x-2}$$

分子・分母を因数分解する。$x^2-4=(x+2)(x-2)$、$x^2-9=(x+3)(x-3)$。

$$=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-3)}\times \frac{x+3}{x-2}$$

共通の因数 $(x-2)$ と $(x+3)$ が約分できる。

$$=\frac{x+2}{x-3}$$

(先に因数分解しておくと、約分できる因数が見えてくる。展開してしまうと逆に大変になる。)

発展 — 一歩先へ。 分数式は、整式を「分子・分母」に持つ数のようなものだ。整数と有理数の関係が、そのまま整式と分数式の関係に対応している。

「整数でできることは、たいてい整式でもできる」 — この対応は驚くほど正確だ。整式にも「割り算(商と余り)」があり、「ユークリッドの互除法」で最大公約数が求まり、「素因数分解の一意性」に対応する定理まである。

数学の構造は、対象を取り替えても保たれることがある。 整数論の道具が、そのまま多項式の理論に移植できる — 大学で学ぶ代数学は、この「共通の骨格」を抽象的に研究する分野だ。

$\frac{x^2-4}{x^2-9}$ を約分する作業は、$\frac{84}{126}$ を約分する作業と、本質的に同じことをしている。 そう気づくと、計算がただの手続きではなく、構造の探索に見えてくる。

別解

答えが合っているか、数値を代入して確かめよう。 そして、分数式で必ず気をつけるべき「定義域」の話をする。

検算: $x=0$ を入れてみる。

元の式に $x=0$ を代入する。

$$\frac{0-4}{0-9}÷\frac{0-2}{0+3}=\frac{-4}{-9}÷\frac{-2}{3}=\frac{4}{9}\times \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{2}{3}$$

答えの式に $x=0$ を代入する。

$$\frac{0+2}{0-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$$

一致した ✓。

もう $1$ 点、$x=1$ でも試す。

元の式: $\frac{1-4}{1-9}÷\frac{1-2}{1+3}=\frac{-3}{-8}÷\frac{-1}{4}=\frac{3}{8}\times (-4)=-\frac{3}{2}$

答えの式: $\frac{1+2}{1-3}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$ ✓

$2$ 点で合えば、まず間違いない。 分数式の計算は、約分ミス・符号ミスが起きやすい。数値代入は、$30$ 秒でできる保険である。

さて、ここからが本題。「どんな $x$ でも成り立つ」わけではない。

元の式には、使えない $x$ の値がある。

• $x^2-9=0$ → $x=\pm 3$ で分母が $0$
• $\frac{x-2}{x+3}$ の分母から → $x=-3$
• 割り算だから、割る数が $0$ ではいけない → $\frac{x-2}{x+3}\ne 0$、つまり $x\ne 2$

まとめると $x\ne 3,-3,2$。

ところが、答えの式 $\frac{x+2}{x-3}$ を見ると、$x=2$ を代入できてしまう($\frac{4}{-1}=-4$ と、何事もなく値が出る)。$x=-3$ も同様だ。

元の式では計算できないのに、答えの式では計算できてしまう — この「ずれ」に注意したい。約分で $(x-2)$ や $(x+3)$ が消えた瞬間、その値での「計算できなさ」の記憶が失われるのだ。

厳密に書くなら

$$\frac{x^2-4}{x^2-9}÷\frac{x-2}{x+3}=\frac{x+2}{x-3}(x\ne 3,-3,2)$$

約分は、値を変えない。しかし定義域を変えてしまうことがある。

この感覚は、数IIIの極限で決定的に効いてくる。

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$$

$x=2$ では $\frac{0}{0}$ で計算できない。しかし約分すれば $x+2$ となり、$x\to 2$ で $4$ に近づく — 「その点では定義されていないが、近づけば値が見える」。この微妙な事情が、微分の出発点になる。

分数式の約分は、単なる計算テクニックではない。 「どこで定義されているか」を意識する訓練でもある。