積の形の望遠鏡式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和の計算に「差の形に割って畳む」(部分分数)があるように、積の計算では「積の形に割って約分の連鎖を起こす」のが対応する定石だ。

$1-\frac{1}{k^2}$ は和と差の積で

$$1-\frac{1}{k^2}=\left(1-\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{1}{k}\right)=\frac{k-1}{k}\cdot \frac{k+1}{k}$$

と割れる。$\frac{k-1}{k}$ の系列と $\frac{k+1}{k}$ の系列に分けて掛けると、どちらも隣との約分が階段状に連鎖して、端の数だけが生き残る。

① 2系列に分ける。

$$\prod _{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\prod _{k=2}^n\frac{k-1}{k}\times \prod _{k=2}^n\frac{k+1}{k}$$

② それぞれ畳む。 前の系列は

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$$

(分子と次の分母が次々に消える。)後の系列は

$$\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdots \frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2}$$

③ 掛け合わせる。

$$\frac{1}{n}\cdot \frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}$$

確かめ: $n=2$ なら $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ で、$\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4}$ ✓。

まとめ: 「和の望遠鏡(部分分数)」の積バージョン。因数分解 → 系列を分ける → 階段状の約分、の3拍子だ。分けたそれぞれの積がきれいに畳まれる形(分子と分母が1ずれ)を見抜くのが急所。

発展 — 一歩先へ。 $n$ を限りなく大きくすると、積は $\frac{1}{2}$ に近づく。無限個の「1より小さい数」を掛け続けたのに、0に潰れずに $\frac{1}{2}$ で踏みとどまる — 無限積が0になるかどうかは、各因子が1にどれだけ速く近づくかで決まる。その感覚の入り口になる例だ。

別解

数学的帰納法で閉じる(確実ルート)。 答えの形 $\frac{n+1}{2n}$ に見当がついたら(小さい $n$ の実験でも見つかる)、帰納法で固めるのが確実だ。

$n=2$ のとき: 左辺 $=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$、右辺 $=\frac{3}{4}$ で成立。

$n$ で成り立つと仮定する。$n+1$ では、仮定の積に次の因子を掛けて

$$\frac{n+1}{2n}\cdot \left(1-\frac{1}{(n+1{)}^2}\right)=\frac{n+1}{2n}\cdot \frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}=\frac{n+2}{2(n+1)}$$

これは求める式の $n$ を $n+1$ に置き換えた形そのもの。よってすべての $n\ge 2$ で成り立つ。

途中の約分($n+1$ が消え、$n$ が消える)が気持ちよく決まるのは、答えの形が正しい証でもある。「実験で予想 → 帰納法で確定」は、閉じた式を求める問題の安全網として、望遠鏡と並ぶ二枚看板だ。