値の偶奇から整数解がないことを示す

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「整数解をもたない」ことの証明は、余り(ここでは偶奇 = 2で割った余り)の世界で矛盾を出すのが定石だ。

手がかりは $f(0)$ と $f(1)$ の2つの値だけ。そこで「任意の整数 $r$ での値 $f(r)$ は、$r$ の偶奇に応じて $f(0)$ か $f(1)$ と偶奇が一致する」ことを示す。すると $f(r)$ はいつでも奇数で、0(偶数)にはなれない。

① $r$ が偶数のとき。 $f(x)=a_m{x}^m+\cdots +a_{1}x+a_0$ とすると

$$f(r)-f(0)=a_m{r}^m+\cdots +a_{1}r$$

右辺の各項は $r$(偶数)を因数にもつから偶数。よって $f(r)$ と $f(0)$ の偶奇は一致し、$f(r)$ は奇数。

② $r$ が奇数のとき。

$$f(r)-f(1)=a_m(r^m-1)+\cdots +a_1(r-1)$$

各 $r^k-1=(r-1)(r^{k-1}+\cdots +1)$ は $r-1$(偶数)を因数にもつから偶数。よって $f(r)$ と $f(1)$ の偶奇は一致し、$f(r)$ は奇数。

③ 結論。 どちらの場合も、整数 $r$ に対して $f(r)$ は奇数。奇数は0でないから、$f(x)=0$ は整数の解をもたない。

まとめ: $f(0)$ と $f(1)$ という2つの窓が、すべての整数での値の偶奇を見張っている。偶数を入れれば $f(0)$ 側、奇数を入れれば $f(1)$ 側と偶奇がそろうからだ。整数解の存在を素早く否定できる、整数係数多項式の基本装備になる。

発展 — 一歩先へ。 この判定は「$f(0)f(1)$ が奇数なら整数解なし」と1つの積にまとめられる。裏返すと、「整数解をもつなら $f(0)f(1)$ は偶数」— 整数解の必要条件として、方程式を解く前の検問に使える。

別解

因数定理と連続整数で(得意な人向け)。 合同式を使わずに、因数分解の形から一撃で出す道もある。

整数解 $r$ があったとする。因数定理により、整数係数の多項式 $g(x)$ を使って

$$f(x)=(x-r)g(x)$$

と書ける(整数係数で割り切れることは、割り算を実行すれば確かめられる)。$x=0$ と $x=1$ を代入すると

$$f(0)=-rg(0),f(1)=(1-r)g(1)$$

掛け合わせて

$$f(0)f(1)=-r(1-r)g(0)g(1)=r(r-1)g(0)g(1)$$

ここで $r$ と $r-1$ は連続する整数だから、どちらかは必ず偶数。よって $f(0)f(1)$ は偶数だ。

ところが仮定から $f(0)f(1)$ は奇数×奇数=奇数。矛盾。よって整数解は存在しない。

「連続整数の積は偶数」という一粒の事実が、方程式全体の運命を決める。合同式ルート(本解)と因数定理ルート、好みで選べる2本立てだ。