数学II / 式と証明

3次式の因数分解

★ 基礎3次式の因数分解

問題

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{3} + 27$

(2) $8 x^{3} - 1$

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$27$ や $8 x^{3}$ を『何かの $3$ 乗』の形に直すのが第一歩。 $3$ 乗の和・差の形が見えたら、それ専用の因数分解が使える。

解答・解説

方針

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ 、 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ の公式。まず『何の3乗か』を見抜く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $3$ 乗 $\pm$ $3$ 乗」の形を見抜くのが第一手だ。

$x^{3} + 27 = x^{3} + 3^{3}, 8 x^{3} - 1 = (2 x)^{3} - 1^{3}$

$27 = 3^{3}$ 、 $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ — この見抜きができれば、あとは公式に流し込むだけ。

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

符号の覚え方。 前のカッコは元の式と同じ符号。後ろのカッコは真ん中だけ逆の符号、両端は必ずプラス。

$和 \to (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}), 差 \to (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

後ろのカッコは $(a \pm b)^{2}$ ではない。 真ん中が $2 ab$ ではなく $ab$ — $2$ がつかない。ここが最大の罠だ。

公式

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

、

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

(1) $27 = 3^{3}$ なので、 $a = x$ 、 $b = 3$ の和の3乗の因数分解。

$x^{3} + 27 = x^{3} + 3^{3} = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$

(公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ 。まん中の項が $- ab$ で符号がマイナスになる点に注意。)

(2) $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ 、 $1 = 1^{3}$ なので、 $a = 2 x$ 、 $b = 1$ の差の3乗。

$8 x^{3} - 1 = (2 x)^{3} - 1^{3} = (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)$

(差のほうは、まん中の項が $+ ab$ でプラスになる。和のときと逆だ。)

発展 — 一歩先へ。 $x^{2} - 3 x + 9$ は、実数の範囲では因数分解できなかった( $D < 0$ )。しかし複素数まで広げれば、必ず分解できる。

$x^{2} - 3 x + 9 = (x - \frac{3 + 3 3 i}{2}) (x - \frac{3 - 3 3 i}{2})$

つまり $x^{3} + 27 = 0$ の解は $3$ つある。 $x = - 3$ と、 $2$ つの虚数解だ。

これが「代数学の基本定理」の一例である。

$n 次方程式は、複素数の範囲で必ず n 個の解を持つ (重解も数えて)$

実数だけでは $1$ 個しか見つからなかった解が、複素数まで広げると $3$ 個そろう。 数の世界を広げると、答えの数がきれいに揃う — これが複素数を導入する最大の理由だ。

しかも $x^{3} = - 27$ の $3$ つの解を複素数平面に描くと、原点を中心とする半径 $3$ の円周上に、正三角形の頂点として並ぶ(数Cで学ぶ)。

「 $1$ の $3$ 乗根」が正三角形をなす、という美しい事実の親戚である。 $x^{3} + 27$ という素朴な式の裏に、円と正三角形が隠れていた — 代数の式が、幾何の形を語り出す瞬間だ。

答

(1) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ (2) $(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)$

別解

公式を忘れたら、因数定理と割り算でその場で作れる。 遠回りに見えて、実は「なぜその形になるのか」の答えがここにある。

(1) $x^{3} + 27$ を、公式なしで因数分解する。

手順1: $0$ になる値を探す。 $f (x) = x^{3} + 27$ とおいて、 $f (x) = 0$ となる $x$ を探す。

$x = - 3 ⟹ f (- 3) = (- 3)^{3} + 27 = - 27 + 27 = 0$

$f (- 3) = 0$ が見つかった。

手順2: 因数定理を使う。

$f (- 3) = 0 ⟹ f (x) は (x + 3) を因数に持つ$

手順3: 実際に割る。 $x^{3} + 27$ を $x + 3$ で割ると

$x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$

公式と同じ答えが出た ✓。

手順4: 残った $2$ 次式が、これ以上分解できるか調べる。 $x^{2} - 3 x + 9$ の判別式は

$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = - 27 < 0$

負なので、実数の範囲ではこれ以上分解できない — 因数分解はここで完成だ。

(2) $8 x^{3} - 1$ も同じ手で。 $f (\frac{1}{2}) = 8 \cdot \frac{1}{8} - 1 = 0$ なので $(x - \frac{1}{2})$ 、つまり $(2 x - 1)$ を因数に持つ。

$8 x^{3} - 1 = (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)$

この方法の何がいいか。

$1$ つ目: 公式が使えない $3$ 次式にも通用する。 $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ のような式は、 $3$ 乗の和・差の形をしていない。しかし $f (1) = 0$ を見つければ $(x - 1)$ で割れる — 因数定理は、あらゆる高次式に効く万能の道具だ( $3$ 次方程式を解くとき、必ずこの手を使う)。

$2$ つ目: 公式の「意味」が分かる。 $a^{3} + b^{3}$ が $(a + b)$ で割り切れるのは、 $a = - b$ を代入すると $0$ になるからだ。 $(- b)^{3} + b^{3} = 0$ — 公式の根っこには、因数定理がいる。

$3$ つ目: 符号の暗記から解放される。 「後ろのカッコの真ん中は $- ab$ か $+ ab$ か」で迷わない。割り算すれば、答えが出る。

検算は展開で。 $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ を展開すると

$x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3 x^{2} - 9 x + 27 = x^{3} + 27 ✓$

真ん中の項が全部打ち消し合って消える。 これが $a^{2} - ab + b^{2}$ の $- ab$ の役目 — 打ち消し役なのだ。 $2 ab$ だと打ち消しきれず、余りが出てしまう。なぜ $2$ がつかないのか、これで納得できるはずである。

ポイント

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ (中央は $- ab$ )
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ (中央は $+ ab$ )
$27 = 3^{3}$ 、 $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ と『3乗の形』に直すのが第一歩

よくある間違い

$a^{2} - ab + b^{2}$ を $(a - b)^{2}$ ( $= a^{2} - 2 ab + b^{2}$ )と混同する
和と差で中央の符号を取り違える
$8 x^{3}$ を $(2 x)^{3}$ と見抜けず、 $2$ を外に出したまま分解しようとする