数学II / 式と証明

条件つきの最小値(相加・相乗平均)

★★★★ 難関相加相乗最大・最小条件つき

問題

$a, b$ を正の実数とし、 $a + b = 1$ を満たすとする。 $(a + \frac{1}{a})^{2} + (b + \frac{1}{b})^{2}$ の最小値を求めよ。

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$P = a + \frac{1}{a}$ 、 $Q = b + \frac{1}{b}$ とおくと、 $2$ 乗の和は $P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2}$ で下から押さえられる。 $P + Q$ を $a + b = 1$ の条件で評価する。 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ の最小は。

解答・解説

方針

対称性から $a = b = \frac{1}{2}$ で最小と見当をつけ、それを不等式で裏づける。 $2$ 乗の和 $P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2}$ を使い、 $P + Q = a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ を相加・相乗平均で下から評価する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対称な条件( $a + b = 1$ )と対称な式なので、 $a = b = \frac{1}{2}$ で最小と見当がつく。それを不等式で裏づける。

$2$ 乗の和には $P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2}$ (等号 $P = Q$ )が使える。 $P = a + \frac{1}{a}$ 、 $Q = b + \frac{1}{b}$ とおくと、和 $P + Q = a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 。

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ を相加相乗平均などで下から評価する。 $a + b = 1$ の下で $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ (等号 $a = b = \frac{1}{2}$ )。あとは組み立てれば最小 $\frac{25}{2}$ 。

公式

P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2}

(等号

P = Q

)。相加・相乗平均

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{ab}

、および

ab \leq (\frac{a + b}{2})^{2}

① $2$ 乗の和を下から押さえる。 $P = a + \frac{1}{a}$ 、 $Q = b + \frac{1}{b}$ とおくと

$P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2}$

② $P + Q$ を評価する。 $P + Q = (a + b) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{a + b}{ab} = 1 + \frac{1}{ab}$ 。 $a + b = 1$ より $ab \leq (\frac{a + b}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ 、よって $\frac{1}{ab} \geq 4$ 。ゆえに

$P + Q = 1 + \frac{1}{ab} \geq 1 + 4 = 5$

③ まとめる。

$P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2} \geq \frac{5 ^{2}}{2} = \frac{25}{2}$

④ 等号の確認。 すべての等号は $P = Q$ かつ $ab = \frac{1}{4}$ 、すなわち $a = b = \frac{1}{2}$ のとき同時に成り立つ。このとき値は $(\frac{1}{2} + 2)^{2} \cdot 2 = (\frac{5}{2})^{2} \cdot 2 = \frac{25}{2}$ 。よって最小値は $\frac{25}{2}$ 。

まとめ:対称な条件つき最小は「等しいときが最小」と見当をつけ、不等式で裏づける。 $2$ 乗の和は $\frac{( P + Q ) ^{2}}{2}$ で、 $P + Q$ は $\frac{1}{ab} \geq 4$ ( $ab \leq \frac{1}{4}$ )で下から。等号がすべて $a = b = \frac{1}{2}$ でそろうことの確認が仕上げ。

発展 — 一歩先へ。 対称式の最大最小は「和と積で $1$ 変数化」が定石。 $a + b = 1$ (和固定)なら積 $t = ab$ が $(0, \frac{1}{4}]$ を動き、対称式はすべて $t$ の関数。凸性(または微分)で端 $t = \frac{1}{4}$ ( $a = b$ )か端 $t \to 0$ のどちらで最小最大かが決まる。制約付き最適化の基本パターンだ。

答

$\frac{25}{2}$ ( $a = b = \frac{1}{2}$ のとき)

別解

別解 — $t = ab$ を $1$ 変数にして $2$ 次関数に帰着(苦手な人にも見通しのよいルート)。 $a + b = 1$ を使い、対称式を積 $t = ab$ で表す。 $a, b$ が正で和が $1$ だから、 $0 < t \leq \frac{1}{4}$ (相加相乗、 $t$ 最大は $a = b = \frac{1}{2}$ )。

$(a + \frac{1}{a})^{2} + (b + \frac{1}{b})^{2}$ を $t$ で書き換える。 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 1 - 2 t$ 、 $\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} = \frac{1 - 2 t}{t ^{2}}$ 、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ など交差項も $t$ で書ける。整理すると与式は

$f (t) = (1 - 2 t) + 2 + \frac{1 - 2 t}{t ^{2}} = 3 - 2 t + \frac{1 - 2 t}{t ^{2}} .$

$0 < t \leq \frac{1}{4}$ で $f (t)$ は減少関数(微分すると負)。だから最小は $t$ 最大の $t = \frac{1}{4}$ 、すなわち $a = b = \frac{1}{2}$ 。 $f (\frac{1}{4}) = 3 - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1/16} = \frac{5}{2} + 8 = \frac{25}{2}$ 。

$P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2}$ を使う本解に対し、 $t = ab$ の $1$ 変数関数に落とすと、最小がどこで起こるか(端 $t = \frac{1}{4}$ )が単調性から確実に分かる。対称式は「和と積」で $1$ 変数化するのが常道だ。

ポイント

$P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2}$ 、 $P + Q = 1 + \frac{1}{ab} \geq 5$ 。
最小 $\frac{5 ^{2}}{2} = \frac{25}{2}$ 、等号 $a = b = \frac{1}{2}$ 。

よくある間違い

対称性から $a = b = \frac{1}{2}$ で最小と“見当”をつけただけで、不等式で裏づけない。
$P^{2} + Q^{2} \geq \frac{( P + Q ) ^{2}}{2}$ の係数( $\frac{1}{2}$ )を誤る。
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ ( $a + b = 1$ の下で)の評価を忘れ、 $P + Q$ を下から押さえられない。