n+1個の条件をみたす多項式の次の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $f$ の係数を連立方程式で求めるのは、$n$ が一般では不可能だ。条件 $f(k)=\frac{k}{k+1}$ の分母を払って「=0」の形に直すと、景色が変わる。

$(k+1)f(k)-k=0$。つまり多項式

$$g(x)=(x+1)f(x)-x$$

は $x=0,1,\dots ,n$ の $n+1$ 個を零点にもつ。$g$ は $n+1$ 次だから、因数定理よりこれで因数がすべて出そろい、$g(x)=cx(x-1)\cdots (x-n)$ と、定数 $c$ を残して確定する。

$c$ は、まだ使っていない特別な点 $x=-1$($(x+1)$ が消える点)を代入すれば求まる。

① $g$ の形を決める。 $g(x)=(x+1)f(x)-x$ は次数 $n+1$ で、$g(k)=(k+1)\cdot \frac{k}{k+1}-k=0$($k=0,\dots ,n$)。よって

$$g(x)=cx(x-1)(x-2)\cdots (x-n)$$

② $x=-1$ で $c$ を決める。 $g(-1)=0\cdot f(-1)-(-1)=1$。一方

$$g(-1)=c(-1)(-2)\cdots (-1-n)=c(-1{)}^{n+1}(n+1)!$$

よって $c=\frac{(-1{)}^{n+1}}{(n+1)!}$。

③ $x=n+1$ を代入する。

$$g(n+1)=(n+2)f(n+1)-(n+1)=c(n+1)n\cdots 1=c(n+1)!=(-1{)}^{n+1}$$

したがって

$$f(n+1)=\frac{n+1+(-1{)}^{n+1}}{n+2}$$

すなわち $n$ が奇数なら $f(n+1)=\frac{n+2}{n+2}=1$、偶数なら $f(n+1)=\frac{n}{n+2}$。

まとめ: 「値の条件」を「零点の条件」に翻訳して、因数定理で仕留める。分母を払ってできる $g$ の次数がちょうど零点の個数と合う瞬間に、問題は事実上解けている。$x=-1$ という「仕掛けが消える点」を定数決定に使う呼吸も込みで覚えたい。

発展 — 一歩先へ。 同じ設計はそっくり使い回せる。たとえば「$n$ 次の $f$ が $f(k)=\frac{1}{k}$($k=1,\dots ,n+1$)を満たすとき $f(n+2)$ は?」なら、$g(x)=xf(x)-1$ とおけばよい。「分母を払って零点」は、この一族すべての合鍵だ。

別解

$f$ を書き下ろして眺める(具体で信じるルート)。 ①②の結果を $f$ について解くと、$f$ そのものが1本の式になる:

$$f(x)=\frac{x+\frac{(-1{)}^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)\cdots (x-n)}{x+1}$$

分子は $x=-1$ で $-1+\frac{(-1{)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot (-1{)}^{n+1}(n+1)!=-1+1=0$ となるから、ちゃんと $x+1$ で割り切れて、$f$ は多項式になる(検算にもなっている)。

$n=1$ で試すと気持ちがいい。$c=\frac{1}{2}$ で

$$f(x)=\frac{x+\frac{1}{2}x(x-1)}{x+1}=\frac{\frac{1}{2}x(x+1)}{x+1}=\frac{x}{2}$$

たしかに $f(0)=0,f(1)=\frac{1}{2}$ を満たす1次式で、$f(2)=1$。「$n$ が奇数なら $f(n+1)=1$」の最小例が、$f(x)=\frac{x}{2}$ という素朴な式で目の前に現れる。

一般論(本解)で答えを出し、小さい $n$ の明示式で手触りを確かめる。抽象と具体の往復が、この種の問題をほんとうに自分のものにする。