数学II / 式と証明

割った余りの条件から余りを求める

★★ 標準多項式の割り算恒等式

問題

整式 $P (x)$ を $x - 1$ で割ると余りが $3$ 、 $x - 2$ で割ると余りが $5$ である。 $P (x)$ を $(x - 1) (x - 2)$ で割った余りを求めよ。

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$(x - 1) (x - 2)$ で割った余りは $1$ 次以下。余りを文字でおいて関係式を作り、与えられた $2$ つの余りの条件を代入の形で使うと、文字の連立になる。

解答・解説

$(x - 1) (x - 2)$ で割った余りを $a x + b$ とおく。『 $x - 1$ で割った余りが $3$ 』は、 $P (x)$ に $x = 1$ を代入すると $3$ 、という意味だ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $P (x)$ の正体は分からない。でも、余りの問題では正体は要らない。

$(x - 1) (x - 2)$ で割った余りは、2次式で割るのだから $a x + b$ とおける。

条件の翻訳が鍵だ。「 $x - 1$ で割ると余り $3$ 」は「 $P (1) = 3$ 」という値の情報である(剰余の定理)。 $x = 1, 2$ の代入で $a x + b$ の連立ができあがる。

公式

1

次式

x - α

で割った余りは

P (α)

(

x = α

を代入すれば余りが出る)

$(x - 1) (x - 2)$ は $2$ 次だから、余りは1次以下。 $P (x) = (x - 1) (x - 2) Q (x) + a x + b$ とおく。

『 $x - 1$ で割った余りが $3$ 』は $P (1) = 3$ 、『 $x - 2$ で割った余りが $5$ 』は $P (2) = 5$ 。この $x = 1, 2$ を上の式に入れると $(x - 1) (x - 2) Q (x)$ が消える。

$x = 1$ : $P (1) = a + b = 3$ 。 $x = 2$ : $P (2) = 2 a + b = 5$ 。

2式を引いて $a = 2$ 、戻して $b = 1$ 。よって余りは

$2 x + 1$

発展 — 一歩先へ。 割る式が $(x - 1)^{2} (x - 2)$ のように重根を含むと、値の情報だけでは足りなくなり、「 $(x - 1)^{2}$ で割った余り」の形を経由する一段深い型になる。値が使えるのは根がすべて異なるときだ、という条件を意識しておこう。

別解の「点を通る多項式の当てはめ」は、補間と呼ばれる考え方の入り口で、実験データから式を推定する数値計算の基礎にもなっている。

答

$2 x + 1$

連立を解く代わりに、「グラフの直線当てはめ」で読む方法もある。

条件を点の言葉に翻訳すると、 $P (1) = 3$ 、 $P (2) = 5$ 。求める余り $r (x) = a x + b$ は1次式、つまり直線で、 $P$ と同じ値を $x = 1, 2$ でとる。

だから $r (x)$ は2点 $(1, 3)$ と $(2, 5)$ を通る直線だ。

傾きは $\frac{5 - 3}{2 - 1} = 2$ 。 $y = 2 x + 1$ と即座に書ける( $x = 1$ で $3$ 、 $x = 2$ で $5$ の検算も一瞬)。

「 $n$ 個の点を通る $n - 1$ 次式」という見方は、割る式が3次以上になっても通用する(3点なら放物線の当てはめ)。連立の計算を、図形の言葉が肩代わりしてくれる。