x+1/x の対称式は整数係数多項式(漸化式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^n+\frac{1}{x^n}$ たちは、べきが1つ違いの仲間と連動している。試しに $t=x+\frac{1}{x}$ を掛けると、$x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}$ と $x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}$ の和が出てくる。

つまり $p_n=x^n+x^{-n}$ とおけば、3項間の漸化式 $p_{n+1}=t{p}_n-p_{n-1}$ が立つ。

出発点 $p_0=2$、$p_1=t$ は $t$ の整数係数多項式。漸化式は「$t$ を掛けて前を引く」だけだから、整数係数のまま次々に上がれる。帰納法の形が見えた。

① 漸化式の導出。 $$t{p}_n=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)=\left(x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}\right)+\left(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\right)=p_{n+1}+p_{n-1}.$$ よって $p_{n+1}=t{p}_n-p_{n-1}$。

② 整数係数の保存(帰納法)。 $p_0=2,p_1=t$ は整数係数。$p_{n-1},p_n$ が整数係数多項式なら、$t{p}_n-p_{n-1}$ も整数係数の和・積・差だから整数係数。よってすべての $n$ で $p_n$ は $t$ の整数係数多項式。

③ 順に計算。 $$p_2=t\cdot t-2=t^2-2,p_3=t(t^2-2)-t=t^3-3t,$$ $$p_4=t(t^3-3t)-(t^2-2)=t^4-4t^2+2,p_5=t(t^4-4t^2+2)-(t^3-3t)=t^5-5t^3+5t.$$ よって $x^5+\frac{1}{x^5}=t^5-5t^3+5t$。

まとめ $t{p}_n=p_{n+1}+p_{n-1}$ から漸化式 $p_{n+1}=t{p}_n-p_{n-1}$、帰納法で整数係数、$p_5=t^5-5t^3+5t$。対称式と漸化式(帰納法)の融合。

発展 — 一歩先へ。 相反方程式への応用が有名だ。$x^4+x^3+x^2+x+1=0$($x^5=1$ の $x\ne 1$ の部分)を $x^2$ で割って $t=x+\frac{1}{x}$ に直すと $t^2+t-1=0$。ここから $t=2\cos 72^{\circ }=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$、つまり $\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ が求まる。「次数を半分にする」置き換えである。

別解

別解 — $x$ を単位円に乗せて「$n$ 倍角」と読む(得意な人向けの高い視点)。 絶対値 $1$ の複素数 $x=\cos \theta +i\sin \theta$ を入れてみる。$\frac{1}{x}=\cos \theta -i\sin \theta$ だから

$$t=x+\frac{1}{x}=2\cos \theta ,x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos n\theta$$

(ド・モアブルの定理)。つまり $p_n(t)$ とは「$2\cos n\theta$ を $2\cos \theta$ の多項式で表す式」、$n$ 倍角の公式の正体である。

$p_2=t^2-2$ は $2\cos 2\theta =(2\cos \theta {)}^2-2$、$p_3=t^3-3t$ は3倍角。本問の $p_5=t^5-5t^3+5t$ は5倍角の公式に他ならない。

漸化式 $p_{n+1}=t{p}_n-p_{n-1}$ も、加法定理からくる $\cos (n+1)\theta +\cos (n-1)\theta =2\cos \theta \cos n\theta$ と同じ式だ。代数の漸化式と三角関数の公式が、1本につながっている。