部分分数分解(数値代入)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数のままでは扱いにくい。まず分母を払う(両辺に $(x+1)(x-2)$ を掛ける)。

$$5x-1=a(x-2)+b(x+1)$$

これで多項式の恒等式になった。

ここからが本題だ。代入する値を、うまく選ぶ。

$x=2$ を入れると、$a$ の項が消える($x-2=0$ だから)。

$$5(2)-1=a\cdot 0+b\cdot 3⟹9=3b⟹b=3$$

$x=-1$ を入れると、今度は $b$ の項が消える。

$$5(-1)-1=a(-3)+b\cdot 0⟹-6=-3a⟹a=2$$

「相手を $0$ にする値」を代入して、$1$ 文字ずつ仕留める。 連立方程式を解く必要すらない — この狙い撃ちが、部分分数分解の急所である。

両辺に $(x+1)(x-2)$ をかけて分母を払う。

$$5x-1=a(x-2)+b(x+1)$$

これは恒等式なので、どんな $x$ でも成り立つ。うまい値を代入する。

$x=2$ を入れると、$a$ の項が消えて

$$5\cdot 2-1=b(2+1)\text{つまり}9=3b\text{よって}b=3$$

$x=-1$ を入れると、$b$ の項が消えて

$$5\cdot (-1)-1=a(-1-2)\text{つまり}-6=-3a\text{よって}a=2$$

$$a=2,b=3$$

(『因数を $0$ にする値』を代入すると、片方の文字だけが残って一発で求まる。係数比較より速いことが多い。)

発展 — 一歩先へ。 部分分数分解には、分母の形に応じた型がある。むやみに $\frac{a}{}+\frac{b}{}$ と置いてはいけない。

型1: 分母が異なる $1$ 次式の積。

$$\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}$$

型2: 同じ因数の $2$ 乗がある。

$$\frac{f(x)}{(x-1{)}^2(x+2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1{)}^2}+\frac{c}{x+2}$$

$(x-1)$ と $(x-1{)}^2$ の両方を置く — 片方だけでは足りない。

型3: $2$ 次の既約因数($x^2+1$ など)がある。

$$\frac{f(x)}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x-1}$$

$2$ 次式が分母なら、分子は $1$ 次式($ax+b$)を置く。定数 $a$ だけでは足りない。

規則は $1$ つ。「分子の次数は、分母の次数より $1$ 低く置く」。 $1$ 次式が分母なら分子は定数($0$ 次)、$2$ 次式が分母なら分子は $1$ 次式。

そして大前提: 分子の次数 $<$ 分母の次数 でなければならない。$\frac{x^3}{x^2-1}$ のように分子が重い場合は、まず割り算をして $x+\frac{x}{x^2-1}$ の形にしてから、分数部分をばらす。

「型」を知らないと、置き方を間違えて解けなくなる。 部分分数分解は、数IIIの積分で必ず使う。分母を見て、型を即座に選べるようにしておく — それが未来の自分への投資になる。

別解

係数比較でも解ける。 そして、$2$ つの方法を比べると「どちらを選ぶべきか」の判断力がつく。最後に、さらに速い裏技も紹介する。

別ルート: 係数比較法。

$$5x-1=a(x-2)+b(x+1)$$

右辺を展開して、$x$ について整理する。

$$ax-2a+bx+b=(a+b)x+(-2a+b)$$

左辺と係数を比べる。

$$\{\begin{array}{ll}a+b=5& (x\text{の係数})\\ -2a+b=-1& (\text{定数項})\end{array}$$

引き算する。

$$(a+b)-(-2a+b)=5-(-1)⟹3a=6⟹a=2$$

$b=5-2=3$。代入法と同じ答え ✓。

どちらが速いか。 この問題では代入法だ。連立を解く手間がない。

しかし係数比較法にも出番がある。 分母が $(x^2+1)(x-1)$ のように、実数の範囲で $0$ にできない因数を含むときだ。$x^2+1=0$ となる実数 $x$ は存在しないので、代入で消せない — そのときは係数比較で押す。

使い分けの目安。

• 分母が $(x-p)(x-q)$ の形(実数の解を持つ)→ 代入法
• $2$ 次の既約因数がある、または分子の次数が高い → 係数比較法

さらに速い裏技: カバーアップ法。

$a$ を求めたいとする。元の分数式で、$a$ の分母 $(x+1)$ を指で隠す。

$$\frac{5x-1}{\underset{\text{隠す}}{\underbrace{}}(x-2)}$$

そして、隠した因数が $0$ になる値($x=-1$)を、残った式に代入する。

$$a=\frac{5(-1)-1}{(-1)-2}=\frac{-6}{-3}=2$$

$a=2$ が、暗算で出た ✓。

$b$ も同じように。 $(x-2)$ を隠して、$x=2$ を代入する。

$$b=\frac{5(2)-1}{2+1}=\frac{9}{3}=3✓$$

分母を払う作業すら要らない。 これは「代入法を極限まで省略した形」で、原理はまったく同じだ(隠した因数を掛けてから $x\to$ その値、をやっている)。

部分分数分解は、数IIIの積分で毎回のように登場する。 そこでは $\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$ をそのまま積分できないが、$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}$ にばらせば

$$\int \left(\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}\right)dx=2\log |x+1|+3\log |x-2|+C$$

ばらせば積分できる。 数十回とやることになる計算だから、カバーアップ法を今のうちに手に馴染ませておくと、後で大きな差になる。