高次式を (x−1)² で割った余り

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 余りは $1$ 次以下だから $ax+b$ とおける。未知数は $2$ つある。

$x=1$ を代入すると式が立つが、これ $1$ 本では $a$、$b$ を決めきれない。足りない $1$ 本をどこから作るか。

割る式が重解 $(x-1{)}^2$ を持つことに注目する。両辺を微分してから $x=1$ を入れると、$(x-1{)}^2$ の項が消えて第 $2$ の式が出る。「重根で割った余りは、微分でもう $1$ 本条件を絞り出す」のが発想だ。

余りを $ax+b$ とおく。

$$x^5=(x-1{)}^{2}Q(x)+ax+b$$

$x=1$ を代入:$1=a+b$ … ①

$(x-1{)}^2$ は $x=1$ を重解に持つので、両辺を $x$ で微分してから $x=1$ を代入すると、右辺の $(x-1{)}^2$ を含む項が $x=1$ で消える。

$$5x^4=2(x-1)Q(x)+(x-1{)}^2{Q}^{\prime }(x)+a$$

$x=1$ を代入:$5=a$。①より $b=1-5=-4$。よって余りは

$$5x-4$$

(別解:$x=1+t$ とおくと $x^5=(1+t{)}^5=1+5t+10t^2+\cdots$。$(x-1{)}^2=t^2$ で割った余りは $t$ の1次まで、つまり $1+5t=1+5(x-1)=5x-4$。同じ答えだ。)

発展 — 一歩先へ。 一般に、$f(x)$ を $(x-a{)}^2$ で割った余りは $f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ になる。

これは点 $(a,f(a))$ での接線そのものだ。今回は $a=1$、$f(1)=1$、$f^{\prime }(1)=5$ で余り $5x-4=1+5(x-1)$、たしかに $x=1$ での接線に一致する。

$(x-a{)}^m$ で割れば、余りはテイラー展開の初め $m$ 項になる。関数を多項式で近似する補間(エルミート補間)の土台がここにある。

別解

別解 — 素直に割り算する(苦手な人向けの愚直ルート)。 技を使わず、$x^5$ を $x^2-2x+1$($=(x-1{)}^2$)でそのまま割る。

割り算を進めると商は $x^3+2x^2+3x+4$、そして最後に余り $5x-4$ が残る。

$$x^5=(x^2-2x+1)(x^3+2x^2+3x+4)+(5x-4).$$

商を掛けて余りを足すと $x^5$ に戻ることを確かめれば確実だ。微分や置きかえの工夫がなくても、割り算そのものを実行すれば余り $5x-4$ にたどり着く。本解と同じ答えだ。