相加相乗平均で階乗を評価

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 左辺 $n!$ は $1,2,\dots ,n$ の積。右辺の $\frac{n+1}{2}$ は $1,2,\dots ,n$ の平均だ。「積を平均で抑える」ときたら相加相乗平均の不等式が浮かぶ。

$n$ 個の数 $1,2,\dots ,n$ に相加相乗を使うと、相加平均が $\frac{n+1}{2}$、相乗平均が $\sqrt[n]{n!}$。

あとは両辺とも正だから、$n$ 乗しても不等号の向きは変わらない。

① 相加相乗を適用。 $a_k=k$($k=1,\dots ,n$)に相加相乗平均を使うと $$\frac{1+2+\cdots +n}{n}\ge \sqrt[n]{1\cdot 2\cdots n}=\sqrt[n]{n!}.$$ ② 相加平均を計算。 $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ より $$\frac{1+2+\cdots +n}{n}=\frac{n(n+1)/2}{n}=\frac{n+1}{2}.$$ ③ $n$ 乗する。 $\frac{n+1}{2}\ge \sqrt[n]{n!}$ の両辺(正)を $n$ 乗して $${\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n\ge n!.$$ 等号は $1=2=\cdots =n$ のとき、すなわち $n=1$ のときのみ。

まとめ $1,\dots ,n$ に相加相乗平均を当てると $\frac{n+1}{2}\ge \sqrt[n]{n!}$、$n$ 乗して $n!\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n$。相加相乗平均と階乗(和の公式)の融合。積の評価に相加相乗、が急所。

発展 — 一歩先へ。 $n=10$ で比べると $10!=3628800$、右辺は $5.5^{10}\approx 2.5\times 10^7$。上限にはかなり余裕がある。実際の $n!$ は ${\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ 程度の大きさで(スターリングの公式)、平均 $\frac{n+1}{2}$ より小さい $\frac{n}{e}$ が“実効的な平均因子”になっている。積の実力を測るのは相乗平均、という好例だ。

別解

別解 — 両端からペアにして掛ける(得意な人向けの高い視点)。 $1,2,\dots ,n$ を両端からペアにする。$k$ と $n+1-k$ の積は、2数の相加相乗(または2次関数の頂点)から

$$k(n+1-k)\le {\left(\frac{k+(n+1-k)}{2}\right)}^2={\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2.$$

これを $k=1,2,\dots ,n$ で全部掛け合わせる。左辺の積は $1,2,\dots ,n$ がちょうど2回ずつ現れて $(n!{)}^2$。よって

$$(n!{)}^2\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^{2n}⟹n!\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n.$$

$n$ 変数の相加相乗(本解)を使わず、2変数の相加相乗 $n$ 回だけで同じ結論に届いた。大きな道具を小さな道具の繰り返しに分解する、味わいのある証明だ。