同じ順序の積の和の不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 両辺とも $a,b,c$ と $x,y,z$ の1次ずつの式だ。差をとれば、$ax$ 型の項の足し引きになる。

ねらいは、差を「同じ向きに並んだ2つの差の積」の和に組み直すこと。$a\ge b$ かつ $x\ge y$ なら $(a-b)(x-y)\ge 0$。この符号の決まった部品だけで組み立てられれば、不等式は自動的に成り立つ。

① 差の分解を確かめる。 ペアの積の和を素直に開く:

$$(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(a-c)(x-z)=2ax+2by+2cz-ay-bx-bz-cy-az-cx$$

一方、左辺−右辺も展開すると

$$3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)=2ax+2by+2cz-ay-bx-bz-cy-az-cx$$

同じ式になった。よって callout の分解は恒等式である。

② 各部品の符号。 $a\ge b,x\ge y$ より $(a-b)(x-y)\ge 0$。同様に $(b-c)(y-z)\ge 0$、$(a-c)(x-z)\ge 0$。よって差は0以上で、不等式が成り立つ。

③ 等号の条件。 等号 ⟺ 3つの積がすべて0。$a,b,c$ がすべては等しくないとすると $a>c$ だから、$(a-c)(x-z)=0$ より $x=z$。これと $x\ge y\ge z$ から $x=y=z$。よって等号が成り立つのは

$$a=b=c\text{または}x=y=z$$

のとき(このとき実際に等号が成り立つことは、代入で確かめられる)。

まとめ: 「差を符号の決まった部品に分解する」のが不等式証明の王道だ。同じ順序の積和 $ax+by+cz$ が平均どうしの積より大きい、という原理(チェビシェフの和の不等式)の心臓部を、分解1本で取り出した形になっている。

発展 — 一歩先へ。 この不等式は $n$ 変数でも成り立つ。「同じ向きに並んだ2つの列の、同順序の積和の平均は、それぞれの平均の積以上」。データの言葉で言えば、正の相関をもつように並べた積の平均は、平均の積を下回らない。統計の共分散の非負性と同じ形をしている。

別解

並べ替えて3つ足す(得意な人向け)。 ペアの分解に気づかなくても、並べ替えの原理から一撃で出せる。

まず2項の基本を確認する。$a\ge b,x\ge y$ のとき

$$ax+by-(ay+bx)=(a-b)(x-y)\ge 0$$

つまり、大きいもの同士を組ませた方が積の和は大きい(同順序が最強)。この原理から、$x,y,z$ をどう並べ替えて組ませても

$$ax+by+cz\ge a\cdot (\text{並べ替えた1つ目})+b\cdot (\text{2つ目})+c\cdot (\text{3つ目})$$

が成り立つ(隣どうしの入れ替えを繰り返せば上の2項の基本に帰着する)。

そこで、3つの巡回的な並べ替えについて書く:

$$ax+by+cz\ge ay+bz+cx,ax+by+cz\ge az+bx+cy$$

自明な $ax+by+cz\ge ax+by+cz$ と合わせて3本を足すと、右辺の総和はちょうど

$$(ax+ay+az)+(bx+by+bz)+(cx+cy+cz)=(a+b+c)(x+y+z)$$

よって $3(ax+by+cz)\ge (a+b+c)(x+y+z)$。展開計算を1度もせずに、原理だけで届くルートだ。