数学II / 式と証明

二項定理と定数項

★★ 標準二項定理一般項

問題

$(x^{2} - \frac{1}{x})^{6}$ の展開における定数項を求めよ。

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一般項を書き、 $x$ の指数をひとまとめにする。指数がちょうど $0$ になる取り出し方が定数項。 $1/ x$ 側がマイナスの指数として効くことに注意。

解答・解説

方針

一般項を書き、 $x$ の次数が $0$ (定数)になる項だけを取り出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 全部展開してはいけない。ほしいのは定数項の1つだけだ。

二項定理の一般項を書き、 $x$ の次数がちょうど $0$ になる項だけを狙い撃つ。

$x^{2}$ 側と $- \frac{1}{x}$ 側で次数がプラスとマイナスに働くので、「次数の帳尻が合う選び方はどれか」という方程式を先に解く。それが設計図になる。

公式二項定理の一般項

_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}

一般項は

$_{6} C_{r} (x^{2})^{6 - r} (- \frac{1}{x})^{r} =_{6} C_{r} (- 1)^{r} x^{2 (6 - r) - r} =_{6} C_{r} (- 1)^{r} x^{12 - 3 r}$

$x$ の次数は $12 - 3 r$ 。定数項は $12 - 3 r = 0$ 、つまり $r = 4$ 。

$_{6} C_{4} (- 1)^{4} = 15$

よって定数項は $15$ 。

発展 — 一歩先へ。 「次数の帳尻方程式」 $3 a - 6 = 0$ がもし整数解を持たなければ、定数項は $0$ である。 $x^{7}$ の係数を聞かれても、同じ方程式( $3 a - 6 = 7$ )が整数解を持たないから即座に $0$ と答えられる。存在しないことまで機械的に判定できるのが、この方法の強みだ。

3項の展開 $(x + y + z)^{n}$ では、選び方が多項係数 $\frac{n !}{p ! q ! r !}$ になる。「選んで掛けて足す」という原理はそのまま拡張される。

答

$15$

別解

一般項の式を書かず、「選び方」の言葉で直接読むこともできる。

展開とは、6個のカッコのそれぞれから $x^{2}$ か $- \frac{1}{x}$ を1つずつ選んで掛け、すべての選び方を足すことだ。

$x^{2}$ を $a$ 個、 $- \frac{1}{x}$ を $6 - a$ 個選ぶと、 $x$ の次数は $2 a - (6 - a) = 3 a - 6$ 。

定数項は次数 $0$ だから $a = 2$ 。つまり「 $x^{2}$ を2個、 $- \frac{1}{x}$ を4個」選んだ項だけが生き残る。

選び方は $_{6} C_{2} = 15$ 通り、符号は $(- 1)^{4} = + 1$ 。よって定数項は $15$ 。

一般項の公式は、この「選んで掛けて足す」を文字で書いただけのものだ。仕組みで考えれば、公式の添字( $r$ をどちらの個数にするか)で迷わなくなる。

ポイント

定数項は『 $x$ の次数 $= 0$ 』になる項
一般項で次数をまとめてから $r$ を決める
$- \frac{1}{x}$ の $(- 1)^{r}$ の符号を忘れない

よくある間違い

$x$ の次数 $2 (6 - r) - r$ の合算を誤る
全部展開してから探して手間取る
$(- \frac{1}{x})^{4}$ の符号を負として、 $- 15$ と答える(偶数個で正)