数学II / 式と証明

条件つきの積の最大値

★★★ 応用相加平均・相乗平均

問題

$x > 0$ 、 $y > 0$ が $x + 2 y = 4$ を満たすとき、 $x y$ の最大値を求めよ。また、そのときの $x$ 、 $y$ の値を求めよ。

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『和が一定なら積に上限がある』— この関係を使いたいが、和が一定なのは $x$ と $2 y$ 。 $x y$ でなく $x \cdot 2 y$ をひとかたまりとして扱うのが急所。

解答・解説

$x$ と $2 y$ の和が $4$ (一定)。相加相乗は『和が一定なら積が最大』を教える。 $x \cdot 2 y$ に相加相乗を使う。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x + 2 y = 4$ という和が一定の条件のもとで、 $x y$ を最大にしたい。

相加相乗は「和が一定なら、積は $2$ 数が等しいときに最大」と教える。

ただし和が一定なのは $x$ と $2 y$ のほう。積を $x \cdot 2 y$ で組めば和が一定の $4$ に乗る。この「相加相乗の効く積の組み方」を工夫するのが急所だ。

公式相加平均・相乗平均の関係

x + y \geq 2 x y

(

x, y > 0

。等号は

x = y

)

$x > 0$ 、 $2 y > 0$ に相加相乗を使う。 $x + 2 y = 4$ なので

$4 = x + 2 y \geq 2 x \cdot 2 y = 2 2 x y$

両辺を $2$ で割って $2 \geq 2 x y$ 、 $2$ 乗して $4 \geq 2 x y$ 、つまり $x y \leq 2$ 。

等号は $x = 2 y$ のとき。これと $x + 2 y = 4$ を連立すると $2 y + 2 y = 4$ 、 $y = 1$ 、 $x = 2$ 。

よって $x = 2$ 、 $y = 1$ のとき最大値 $2$ 。 $■$

(『和が一定なら、相加相乗で積の最大がわかる』。 $x$ と $2 y$ をペアにするのがコツだ。)

x+2y=4 のとき xy=x(4−x)/2。最大2(x=2,y=1)

発展 — 一歩先へ。 「和が一定なら積は等しいとき最大、積が一定なら和は等しいとき最小」。相加相乗はこの $2$ つの向きをまとめて教える双対の関係だ。

同じことは図形にも現れる。周の長さが一定の長方形で面積が最大なのは正方形。周が固定( $2$ 辺の和が一定)で面積( $2$ 辺の積)を最大にする問題そのものだ。

今回は $x$ と $2 y$ の和が一定で、 $x = 2 y$ のとき積が最大になった。より一般に、 $p x + q y$ を一定に保って $x^{a} y^{b}$ を最大化する問題は、重み付きの相加相乗で解ける。

答

$x = 2$ 、 $y = 1$ のとき最大値 $2$

別解 — $1$ 変数に直して平方完成する(苦手な人向けの実感ルート)。 相加相乗を使わず、条件で文字を $1$ つ消す。

$x + 2 y = 4$ より $x = 4 - 2 y$ 。これを代入すると

$x y = (4 - 2 y) y = 4 y - 2 y^{2} = - 2 (y - 1)^{2} + 2.$

$- 2 (y - 1)^{2}$ は $0$ 以下だから、 $x y$ は $y = 1$ のとき最大値 $2$ 。このとき $x = 4 - 2 = 2$ 。定義域 $0 < y < 2$ の内側に頂点 $y = 1$ があることも確かめておく。

放物線の頂点を読むだけなので、相加相乗を思いつかなくても最大値 $2$ ( $x = 2$ 、 $y = 1$ )に届く。本解と同じ答えだ。