数学II / 式と証明

逆数の和の不等式

★★ 標準不等式の証明相加平均・相乗平均

問題

$a > 0$ 、 $b > 0$ のとき、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどんなときか。

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$2$ つの項はどちらも正で、かけ合わせると文字がそっくり消える。この形に効く、和と積を結ぶ不等式があった。等号成立の条件まで詰めよう。

解答・解説

正の2数 $\frac{b}{a}$ 、 $\frac{a}{b}$ に相加平均・相乗平均を使う。積が $1$ (定数)になるのがポイント。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{b}{a}$ と $\frac{a}{b}$ 、2つの正の数の和の下限を問われている。

この2数、掛けると $1$ になる。積が定数の2数の和ときたら、相加平均・相乗平均の関係の出番だ。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = 2$ 。等号は2数が等しいとき、つまり $a = b$ 。使用条件(2数が正)の確認を忘れずに。

公式相加平均・相乗平均の関係

x + y \geq 2 x y

(

x > 0

、

y > 0

。等号は

x = y

)

$a > 0$ 、 $b > 0$ なので $\frac{b}{a} > 0$ 、 $\frac{a}{b} > 0$ 。この2数に相加相乗を使う。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = 21 = 2$

( $\frac{b}{a} \times \frac{a}{b} = 1$ なので、右辺が定数 $2$ になる。)

t=b/a とおくと y=t+1/t≥2(t>0)、最小2は t=1(a=b)のとき

まとめ:等号は $\frac{b}{a} = \frac{a}{b}$ 、つまり $a^{2} = b^{2}$ 、 $a, b > 0$ より $a = b$ のとき。 $■$

発展 — 一歩先へ。 「積が定数になる2数の和」は、相加相乗が最も輝く舞台だ。 $x + \frac{1}{x}$ 、 $2 x + \frac{9}{2 x}$ など、逆数がらみの最小値問題はすべてこの型で、この単元の最後の問題で本格的に登場する。

相加相乗は3数版( $\frac{a + b + c}{3} \geq 3 ab c$ )にも拡張される。2数版が $(a - b)^{2} \geq 0$ で示せたのに対し、3数版の証明はぐっと歯ごたえが増す、良い挑戦問題である。

答

相加相乗より $\geq 2$ 。等号は $a = b$ (証明は解答参照)

相加相乗を使わず、「差を平方の形にする」直接証明もできる。不等式証明の原点の型だ。

左辺から右辺を引いて、通分する。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{b ^{2} + a ^{2} - 2 ab}{ab} = \frac{( a - b ) ^{2}}{ab}$

分子は2乗だから $0$ 以上。分母は $a > 0$ 、 $b > 0$ から正。よって全体は $0$ 以上で、不等式が成り立つ。

等号は分子が $0$ 、つまり $a = b$ のとき。等号条件が $(a - b)^{2}$ の形から目で読めるのが、この方式の気持ちよさだ。

実は相加相乗の関係そのものが、この「差=平方」で証明される。今日の2つの解法は、定理を使うか、定理の証明を現場でなぞるかの違いである。