和と逆数の和の積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 左辺のカッコ2つは、そのままでは相加相乗の形をしていない。まず展開して素顔を見る。

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$

現れた $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ は、積が $1$ の2数の和。前問で示したとおり $2$ 以上だ。

よって全体は $2+2=4$ 以上。等号は $a=b$ のとき。前問の結果が部品として再利用される連鎖を味わいたい。

左辺を展開する。

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$

$\frac{a}{b}>0$、$\frac{b}{a}>0$ に相加相乗を使うと $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$。よって

$$2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2+2=4$$

まとめ:等号は $\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$、つまり $a=b$ のとき。$■$

発展 — 一歩先へ。 この不等式は $n$ 個に一般化される。$(a_1+\cdots +a_n)\left(\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2$。「相加平均は調和平均以上」という平均どうしの序列の言い換えでもある。

カッコごとに相加相乗を使う道($a+b\ge 2\sqrt{ab}$ と $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}$ を掛ける)も正しく通るが、掛け合わせてよいのは両辺が正のときだけ、という注意が要る。複数の不等式を合成するときの作法として覚えておきたい。

別解

この後の問題で証明する不等式 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$ を先取りして使うと、展開すら不要になる。

その不等式に、$a,b$ の代わりに $\sqrt{a},\sqrt{b}$ を、$x,y$ の代わりに $\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{b}}$ を入れる($a>0$、$b>0$ だから根号がとれる)。

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge {\left(\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2=(1+1{)}^2=4$$

右辺の中身が $1+1$ に化けて消える、鮮やかな一撃だ。等号は $\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}$、整理して $a=b$。

「何を代入するとほしい形になるか」を逆算して不等式に食わせる。この使い方こそが、有名不等式を道具として運用する感覚である。