部分分数分解による望遠鏡和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母が「連続する3整数の積」。このままでは足せないが、和が消える形に分解できれば話が変わる。

ねらいは「隣どうしの差」の形。こうなれば、足したとき中間が全部打ち消し合い、両端だけが残る(望遠鏡和)。

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ は、$\frac{1}{k(k+1)}$ と $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ の差の $\frac{1}{2}$ 倍。この分解が見つかれば勝負ありだ。

① 部分分数分解。 $$\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{2}{k(k+1)(k+2)},$$ ゆえに $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$。

② 望遠鏡和。 $a_k=\frac{1}{k(k+1)}$ とおくと一般項は $\frac{1}{2}(a_k-a_{k+1})$。和は $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{2}(a_k-a_{k+1})=\frac{1}{2}(a_1-a_{n+1})=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}.$$ ③ 整理。 $$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}.$$

まとめ 一般項を差 $\frac{1}{2}(a_k-a_{k+1})$($a_k=\frac{1}{k(k+1)}$)に分解すると望遠鏡和で両端だけ残り、$\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$。部分分数(恒等式)と数列の和の融合。

発展 — 一歩先へ。 $n\to \infty$ とすると第2項が消え、無限和は $\frac{1}{4}$ に収束する。分母を4連続 $k(k+1)(k+2)(k+3)$ に増やしても、同じ形の分解 $\frac{1}{3}\left\{\frac{1}{k(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\right\}$ で望遠鏡が組める。連続整数の積は、最初から「差に開ける」構造を持っている。

別解

別解 — 3つの分数にばらして縦に消す(苦手な人向け)。 定数 $A,B,C$ で

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2}$$

と置き、分母を払って係数を比べると $A=\frac{1}{2}$、$B=-1$、$C=\frac{1}{2}$。

和をとると、$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{k}$ の列、$-\frac{1}{k+1}$ の列、$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{k+2}$ の列が1つずつずれて並ぶ。縦に見ると、途中の各分数 $\frac{1}{m}$($3\le m\le n$)には $\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0$ が掛かって全部消える。

残るのは両端の数項だけ。整理すると本解と同じ $\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$ になる。

本解の「2項の差 $\times \frac{1}{2}$」は、この3項分解をあらかじめ望遠鏡の形に束ねたものだ。束ねた形の方が消え方は見やすい。