恒等式と係数比較

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 恒等式とは「どんな $x$ でも成り立つ等式」のこと。方程式($1$ つか $2$ つの特別な $x$ でしか成り立たない)とは別物だ。

$$2x^2-x+3=a(x-1{)}^2+b(x-1)+c$$

どんな $x$ でも成り立つためには、両辺を整理したとき、$x^2$ の係数どうし、$x$ の係数どうし、定数項どうしが、それぞれ一致していなければならない。

これが係数比較法である。

右辺を展開する。

$$a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c=a{x}^2+(-2a+b)x+(a-b+c)$$

左辺と見比べる。

$$a=2,-2a+b=-1,a-b+c=3$$

$3$ 文字・$3$ 式の連立方程式になった。$(x-1{)}^2$ の展開で $-2x$ を落とさない — ここが唯一の関門だ。

右辺を展開して、$x$ について整理する。

$$a(x-1{)}^2+b(x-1)+c=a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c=a{x}^2+(-2a+b)x+(a-b+c)$$

恒等式なので、左辺 $2x^2-x+3$ と『同じ次数の係数』がそれぞれ等しい。

• $x^2$ の係数:$a=2$
• $x$ の係数:$-2a+b=-1$
• 定数項:$a-b+c=3$

$a=2$ を2番目に入れて $-4+b=-1$、$b=3$。3番目に入れて $2-3+c=3$、$c=4$。

$$a=2,b=3,c=4$$

(恒等式は『係数を比べる』か『$x$ に具体的な数を代入する』かで解ける。次の問題では代入で解いてみよう。)

発展 — 一歩先へ。 「恒等式」と「方程式」の違いは、答案で決定的に効く。

• 方程式 $2x^2-x+3=0$: 特定の $x$ を求める問い。「$x$ はいくつか」
• 恒等式 $2x^2-x+3=a(x-1{)}^2+\cdots$: どんな $x$ でも成り立つように、係数を求める問い。「$a$、$b$、$c$ はいくつか」

主役(未知数)が違う。 方程式では $x$ が未知数、恒等式では $a$、$b$、$c$ が未知数で、$x$ は「どんな値でもよい自由な文字」だ。

この違いが、「係数比較してよいか」を決める。

$$x^2-3x+2=0$$

これは方程式なので、「$x^2$ の係数 $1$ と $0$ を比べて $1=0$」などとしてはいけない。恒等式でないものに係数比較を使うと、破綻する。

「これは恒等式か、方程式か」を、問題文から読み取る。 「$x$ についての恒等式となるように」「すべての $x$ について成り立つとき」と書いてあれば恒等式。「方程式を解け」なら方程式だ。

同じ等号 $=$ が、$2$ つの意味を持つ。 数学の記号は文脈で意味が変わる — そこを読み違えると、正しい計算が誤答になる。問題文の一語一語が、使うべき道具を指定している。

別解

展開せずに、$x$ に都合のよい値を入れる。 恒等式は「どんな $x$ でも成り立つ」のだから、好きな値を代入してよいのだ。これを数値代入法という。

代入する値は、$0$ になってくれる値を狙う。

$x=1$ を入れる。 $(x-1)$ の部分が全部 $0$ になる!

$$2(1{)}^2-1+3=a\cdot 0+b\cdot 0+c$$

$$4=c$$

$c=4$ が、一撃で出た ✓。展開も連立も要らない。

$x=0$ を入れる。

$$3=a(0-1{)}^2+b(0-1)+c=a-b+c=a-b+4$$

$$a-b=-1$$

$x=2$ を入れる。

$$2(4)-2+3=a(1{)}^2+b(1)+c=a+b+4$$

$$9=a+b+4⟹a+b=5$$

$2$ 式を足す。

$$(a-b)+(a+b)=-1+5⟹2a=4⟹a=2,b=3$$

係数比較と同じ答え ✓。

どちらを使うべきか。

• 右辺が $(x-1{)}^2$ のように「$0$ にできる形」 → 数値代入法が速い
• 右辺が展開しやすい形 → 係数比較法

注意点が $1$ つ。 数値代入法は「代入した値では成り立つ」ことしか示していない。厳密には、求めた $a$、$b$、$c$ で本当に恒等式になるかを確認する必要がある(未知数が $3$ 個で、$3$ 個の値を代入したので、逆も成り立つことは保証されるが、答案では「逆に、このとき恒等式になる」と一言添えると完璧だ)。

そして、ここからが面白い。この問題の正体は、微分にある。

答えは $a=2$、$b=3$、$c=4$ だった。この $3$ つの数を、$f(x)=2x^2-x+3$ から直接作れる。

$$f(1)=2-1+3=4=c$$

$$f^{\prime }(x)=4x-1⟹f^{\prime }(1)=3=3=b$$

$$f^{\prime \prime }(x)=4⟹\frac{f^{\prime \prime }(1)}{2}=\frac{4}{2}=2=a$$

$c$ は $f(1)$、$b$ は $f^{\prime }(1)$、$a$ は $\frac{f^{\prime \prime }(1)}{2}$ だった。

偶然ではない。 $f(x)$ を $(x-1)$ のべき乗で書き直すとき、その係数は微分係数で決まる。

$$f(x)=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)+\frac{f^{\prime \prime }(1)}{2!}(x-1{)}^2+\cdots$$

これがテイラー展開である(大学で学ぶ)。$\sin x$ や $e^x$ を多項式で近似する、解析学の中心的な道具だ。

「$x=1$ のまわりで式を並べ直す」 — 恒等式の係数決定という素朴な問題が、実は関数を局所的に見る技術の入り口だった。高校の計算問題は、しばしば大きな理論の一部を切り出したものなのである。