条件つき等式の証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$a+b+c=0$ のとき」— 条件をどこで使うかが、この証明の勝負どころだ。

素朴に $a^3+b^3+c^3$ を展開しようとしても、手がかりがない。

そこで証明したい式を、差の形にする。

$$a^3+b^3+c^3-3abc=0\text{を示せばよい}$$

そして、この左辺には有名な因数分解がある。

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

第 $1$ 因数が $(a+b+c)$ !

条件より $a+b+c=0$ だから、この因数が $0$。掛け算のどこかが $0$ なら、全体が $0$。

$$a^3+b^3+c^3-3abc=0\times (\cdots )=0$$

証明終わり。 公式を知っていれば $2$ 行だ。「条件を代入する」のではなく「条件を因数として取り出す」 — これが発想の転換である。

示したいのは『$a^3+b^3+c^3-3abc=0$』。この式には有名な因数分解がある。

ここで条件 $a+b+c=0$ を使うと、右辺の最初の因数が $0$ になる。

$$=0\times (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$$

よって $a^3+b^3+c^3-3abc=0$、つまり

$$a^3+b^3+c^3=3abc$$

が成り立つ。$■$

(条件つきの等式証明は、『左辺 $-$ 右辺』を作って、条件がうまく効く形に変形するのが基本だ。)

発展 — 一歩先へ。 因数分解

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

の第 $2$ 因数は、実は平方の和に書き直せる。

$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\right\}$$

(展開して確かめてみてほしい。)これは必ず $0$ 以上である。

すると、$a$、$b$、$c$ がすべて $0$ 以上のとき

$$a^3+b^3+c^3-3abc=\underset{\geqq 0}{\underbrace{(a+b+c)}}\times \underset{\geqq 0}{\underbrace{\frac{1}{2}\left\{(a-b{)}^2+\cdots \right\}}}\geqq 0$$

$$\boxed{a^3+b^3+c^3\geqq 3abc}$$

これは $3$ 変数の相加平均・相乗平均の関係そのものだ($a^3=x$、$b^3=y$、$c^3=z$ と置けば $\frac{x+y+z}{3}\geqq \sqrt[3]{xyz}$)。

等号成立は、平方が全部 $0$ のとき — つまり $a=b=c$ のときである。

$1$ つの因数分解が、$2$ つの顔を持っていた。

• $a+b+c=0$ のとき → 等式 $a^3+b^3+c^3=3abc$
• $a,b,c\geqq 0$ のとき → 不等式 $a^3+b^3+c^3\geqq 3abc$

因数分解は、等式と不等式の両方を生む。 「積の形」に持ち込むことの価値は、$0$ になる条件が見えるだけでなく、符号が読めることにもある — 次の不等式の証明へ、話がつながっていく。

別解

公式を知らなくても、力ずくで証明できる。 「$1$ 文字を消す」という、条件つき等式の王道ルートだ。むしろ、こちらを先に身につけたい。

条件を「$c$ について解く」。

$$a+b+c=0⟹c=-(a+b)$$

これを、証明したい式に代入する。 $3$ 文字が $2$ 文字になり、条件が消える。

左辺 $a^3+b^3+c^3$ を計算する。

$$a^3+b^3+\{-(a+b){\}}^3=a^3+b^3-(a+b{)}^3$$

$(a+b{)}^3$ を展開する。

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

引く。

$$a^3+b^3-(a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3)=-3a^{2}b-3a{b}^2=-3ab(a+b)$$

右辺 $3abc$ も計算する。 $c=-(a+b)$ だから

$$3abc=3ab\cdot \{-(a+b)\}=-3ab(a+b)$$

両辺が、同じ形になった。

$$-3ab(a+b)=-3ab(a+b)✓$$

証明終わり。 公式を $1$ つも使っていない。展開と代入だけである。

この方法の何がよいか。

$1$ つ目: 忘れようがない。 「条件から $1$ 文字を消して、代入する」— それだけだ。$a^3+b^3+c^3-3abc$ の因数分解は忘れても、この手順は忘れない。

$2$ つ目: どんな条件つき等式にも通用する。 「$a+b+c=0$ のとき $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{?}{abc}$」のような問題でも、同じく $c$ を消せばよい。

弱点は、計算量が増えること。 $3$ 文字が絡む複雑な式では、展開が長くなる。公式ルート($2$ 行)と力ずくルート($10$ 行) — 時間との相談だ。

そして、$2$ つのルートは互いを照らす。 なぜ $a^3+b^3+c^3-3abc$ が $(a+b+c)$ で割り切れるのか — それは、$a+b+c=0$ のときに $0$ になるからだ(因数定理と同じ理屈)。

$$a+b+c=0\text{のとき}{a}^3+b^3+c^3-3abc=0⟹(a+b+c)\text{を因数に持つ}$$

力ずくで示した事実が、公式の存在理由を説明している。 遠回りに見えたルートが、実は公式の根っこを掘り当てていた。

なお、この等式には美しい系がある。 $a+b+c=0$ のとき

$$a^3+b^3+c^3=3abc$$

たとえば $a=1$、$b=2$、$c=-3$ なら

$$1+8-27=-18,3\times 1\times 2\times (-3)=-18✓$$

確かに一致する。 具体例で確かめる習慣も、証明への信頼を支えてくれる。