数学II / 式と証明

二項定理と定数項

★★★★ 難関二項定理一般項

問題

$(2 x - \frac{1}{x ^{2}})^{9}$ の展開式における定数項を求めよ。

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展開の一般項を書き、 $x$ の指数を $k$ の式で表す。定数項は指数が $0$ になるところ。その $k$ を係数に代入。

解答・解説

方針

二項定理の一般項 $(k 9) (2 x)^{9 - k} (- \frac{1}{x ^{2}})^{k}$ を作り、 $x$ の指数が $0$ になる $k$ を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 展開全体を書くのは無駄。定数項だけをねらう。二項定理の一般項を立てて、 $x$ の指数が $0$ になる項を探す。

一般項は $(k 9) (2 x)^{9 - k} (- \frac{1}{x ^{2}})^{k}$ 。 $x$ の指数は $(9 - k) - 2 k = 9 - 3 k$ 。

これが $0$ になるのは $k = 3$ 。その項の係数 $(3 9) \cdot 2^{6} \cdot (- 1)^{3}$ を計算すれば定数項が出る。

定理二項定理の一般項:

(A + B)^{n}

の一般項は

(k n) A^{n - k} B^{k}

① 一般項を書く。 $A = 2 x$ 、 $B = - \frac{1}{x ^{2}} = - x^{- 2}$ 、 $n = 9$ として

$(k 9) (2 x)^{9 - k} (- x^{- 2})^{k} = (k 9) 2^{9 - k} (- 1)^{k} x^{(9 - k) - 2 k} = (k 9) 2^{9 - k} (- 1)^{k} x^{9 - 3 k}$

② 定数項の $k$ を求める。 $x$ の指数が $0$ :

$9 - 3 k = 0 ⟹ k = 3$

③ 係数を計算する。

$(3 9) 2^{9 - 3} (- 1)^{3} = 84 \cdot 2^{6} \cdot (- 1) = 84 \cdot 64 \cdot (- 1) = - 5376$

まとめ:特定の項は「一般項で指数を $k$ の式にし、狙う指数になる $k$ を代入」。 $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ を指数に正しく反映するのが要( $x$ の指数は $9 - 3 k$ )。定数項は指数 $0$ 、最高次でも同様に狙える。

発展 — 一歩先へ。 二項展開 $(a x^{p} + b x^{q})^{n}$ の特定の項は、指数の一次方程式 $p (n - k) + q k =$ (目標)を解いて $k$ を求める。定数項は目標 $= 0$ 。 $x^{p}$ と $x^{q}$ の指数が異符号(片方が負のべき)なら定数項が存在する。ローラン多項式(負のべきを含む)の係数抽出は、母関数の理論で頻出のテクニックだ。

答

$- 5376$

別解

別解 — 「文字を減らす」置き換えで指数だけ追う(苦手な人向け)。 一般項の $x$ の部分だけに注目する。 $(2 x - \frac{1}{x ^{2}})^{9}$ の各項は、 $2 x$ を $9 - k$ 個、 $- \frac{1}{x ^{2}}$ を $k$ 個掛けたもの。

$x$ のべきだけ数える。 $2 x$ からは $x^{+ 1}$ 、 $- \frac{1}{x ^{2}}$ からは $x^{- 2}$ 。合計の指数は $(+ 1) (9 - k) + (- 2) k = 9 - 3 k$ 。

定数項は指数 $0$ 、すなわち $9 - 3 k = 0$ で $k = 3$ 。「 $2 x$ を $6$ 個、 $- \frac{1}{x ^{2}}$ を $3$ 個」使う項だ。

係数は、選び方 $(3 9) = 84$ 、 $2$ のべき $2^{6} = 64$ 、符号 $(- 1)^{3} = - 1$ 。掛けて $84 \times 64 \times (- 1) = - 5376$ 。

二項定理の公式(本解)と同じだが、「 $x$ の指数だけを足し算で追う」と、どの項が定数項かを機械的に特定できる。 $\frac{1}{x ^{2}}$ が $x^{- 2}$ という負のべきだと見れば、指数の合計 $= 0$ の条件が立式しやすい。

ポイント

一般項 $(k 9) 2^{9 - k} (- 1)^{k} x^{9 - 3 k}$ 。
$9 - 3 k = 0$ で $k = 3$ 、係数 $(3 9) 2^{6} (- 1)^{3} = - 5376$ 。

よくある間違い

一般項の $x$ の指数 $(9 - k) - 2 k = 9 - 3 k$ の計算を誤る( $- \frac{1}{x ^{2}}$ は $x^{- 2}$ )。
係数で $2^{9 - k}$ (と符号 $(- 1)^{k}$ )を忘れ、 $(3 9)$ だけにする。
$k = 3$ を求めた後の $(3 9) \cdot 2^{6} \cdot (- 1)^{3}$ の計算(特に符号)を誤る。