数学II / 式と証明

二項定理と特定の項の係数

★ 基礎二項定理一般項

問題

$(2 x - 3)^{5}$ の展開における、 $x^{2}$ の項の係数を求めよ。

ヒントを見る

全部展開する必要はない。二項定理の一般項を書き、 $x$ の次数がちょうど $2$ になる取り出し方だけを選べばよい。どの項を何回ずつ取るかを先に決めよう。

解答・解説

方針

全部展開しなくても、二項定理の『一般項』 $_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$ を使えば、ほしい項だけ取り出せる。 $x^{2}$ になる $r$ を先に決める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(2 x - 3)^{5}$ を全部展開する必要はない。聞かれているのは $x^{2}$ の項だけだ。

二項定理の一般項を書く。

$_{5} C_{r} (2 x)^{5 - r} (- 3)^{r}$

$x$ の次数は $5 - r$ 。 これが $2$ になるのは

$5 - r = 2 ⟹ r = 3$

$r = 3$ の項だけを計算すればよい。

$_{5} C_{3} (2 x)^{2} (- 3)^{3} = 10 \times 4 x^{2} \times (- 27) = - 1080 x^{2}$

$3$ つの部品を、 $1$ つも落とさないこと。

二項係数 $_{5} C_{3} = 10$
$(2 x)^{2}$ の $2^{2} = 4$ (これを落とす人が多い)
$(- 3)^{3} = - 27$ (奇数乗なのでマイナス)

欲しい項だけを狙い撃つ — これが二項定理の使いどころである。

公式二項定理の一般項

_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}

$(2 x - 3)^{5}$ の一般項は

$_{5} C_{r} (2 x)^{5 - r} (- 3)^{r}$

$x$ の次数は $5 - r$ 。 $x^{2}$ がほしいので $5 - r = 2$ 、つまり $r = 3$ 。この項だけ計算する。

$_{5} C_{3} (2 x)^{2} (- 3)^{3} = 10 \times 4 x^{2} \times (- 27) = - 1080 x^{2}$

よって $x^{2}$ の係数は $- 1080$ 。

(全部展開する必要はない。ほしい項の $r$ を先に決めて、その1項だけ計算するのが賢い。 $- 3$ の奇数乗で符号がマイナスになる点に注意。)

発展 — 一歩先へ。 「特定の項だけを取り出す」という技は、二項定理の枠を超えて使える。

たとえば $(x + \frac{1}{x})^{10}$ の定数項を求めよ、という問題。一般項は

$_{10} C_{r} x^{10 - r} (\frac{1}{x})^{r} =_{10} C_{r} x^{10 - 2 r}$

定数項は $x$ の次数が $0$ だから

$10 - 2 r = 0 ⟹ r = 5$

$_{10} C_{5} = 252$

$10$ 乗の展開を書き出さずに、欲しい $1$ 項が出た。

この「一般項を書いて、次数の方程式を解く」という手順が、二項定理の問題のすべてである。

$x^{2}$ の係数 → $5 - r = 2$
定数項 → $10 - 2 r = 0$
$\frac{1}{x ^{3}}$ の係数 → 次数 $= - 3$ となる $r$

問われ方が変わっても、やることは同じ。 「一般項を書く → 次数の式を立てる → $r$ を求める → 代入する」。

多項定理(項が $3$ つ以上のとき)も、同じ発想で拡張される。

$(a + b + c)^{n} の a^{p} b^{q} c^{r} の係数 = \frac{n !}{p ! q ! r !}$

これは「同じものを含む順列」の公式そのもの — 展開の係数は、選び方の数という原理は、どこまで行っても変わらない。

答

$- 1080$

別解

「なぜその項ができるのか」を、数え上げの目で見る。 公式を使わずに係数を作れるようになると、指数の取り違えが起こらなくなる。

$(2 x - 3)^{5}$ は、 $5$ 個の袋が並んでいると思う。

$1 (2 x - 3) 2 (2 x - 3) 3 (2 x - 3) 4 (2 x - 3) 5 (2 x - 3)$

展開とは、各袋から $2 x$ か $- 3$ を $1$ つずつ選んで掛け、その全パターンを足すことである。

$x^{2}$ の項は、どうやってできるか。 $x$ が $2$ 個ほしいのだから、 $5$ 個の袋のうち $2$ 個から $2 x$ を選び、残り $3$ 個から $- 3$ を選ぶ。

その選び方は何通りか。 $5$ 個から $2 x$ を取る袋を $2$ 個選ぶので

$_{5} C_{2} = 10 通り$

(残り $3$ 個は自動的に $- 3$ になる。 $_{5} C_{3} = 10$ と数えても同じ — $_{5} C_{2} =_{5} C_{3}$ だ。)

$1$ 通りぶんの積は

$(2 x)^{2} \times (- 3)^{3} = 4 x^{2} \times (- 27) = - 108 x^{2}$

同じものが $10$ 通りあるので、足すと

$10 \times (- 108 x^{2}) = - 1080 x^{2}$

係数は $- 1080$ ✓。

この見方だと、 $3$ つの部品を落としようがない。

「 $2 x$ を $2$ 個選ぶ」→ 自動的に $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ ( $2$ も $2$ 乗される)
「 $- 3$ を $3$ 個選ぶ」→ 自動的に $(- 3)^{3} = - 27$ (マイナスが $3$ 回で負)
「選び方が $10$ 通り」→ 二項係数

「 $5$ 個のうち何個ずつ選ぶか」だけを考えれば、公式は要らない。

検算: $x = 1$ を代入する。

$(2 \cdot 1 - 3)^{5} = (- 1)^{5} = - 1$

展開したすべての係数の和が $- 1$ になるはずだ。実際、全部展開すると

$32 x^{5} - 240 x^{4} + 720 x^{3} - 1080 x^{2} + 810 x - 243$

$32 - 240 + 720 - 1080 + 810 - 243 = - 1 ✓$

$x^{2}$ の係数 $- 1080$ も、ちゃんと入っている。

もう $1$ つの検算: 符号のパターン。 $(2 x - 3)^{5}$ は「 $+$ と $-$ 」の $5$ 乗だから、展開すると符号が交互( $+, -, +, -, +, -$ )に並ぶ。 $x^{2}$ の項は上から $4$ 番目 — マイナスの位置だ。答えが正になったら、その時点で間違いと分かる。

符号のパターンを先に読んでおく — これだけで、符号ミスの半分は防げる。

ポイント

一般項 $_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$ で、ほしい項だけ取り出す
$x$ の次数から $r$ を先に決める
$(2 x)^{5 - r}$ の係数 $2^{5 - r}$ や $(- 3)^{r}$ の符号も忘れずにかける

よくある間違い

$(2 x)^{2}$ の係数 $2^{2} = 4$ を掛け忘れる
$(- 3)^{3}$ の符号(マイナス)を落とす
$r$ の決め方を間違える( $x$ の次数は $5 - r$ なので、 $x^{2}$ なら $r = 3$ 。 $r = 2$ としてしまう)