データの分析 — 分散・相関係数・仮説検定

10人の生徒が受けた小テスト(10点満点)の得点は次の通りであった。

$$2,3,3,4,5,6,6,7,7,7(\text{点})$$

このデータの平均値、中央値、最頻値をそれぞれ求めよ。

ある班20人の通学時間を調べ、度数分布表に整理したところ、次のようになった。

• $0$ 分以上 $10$ 分未満: $3$ 人
• $10$ 分以上 $20$ 分未満: $5$ 人
• $20$ 分以上 $30$ 分未満: $8$ 人
• $30$ 分以上 $40$ 分未満: $4$ 人

各階級の階級値(階級の中央の値)を用いて、通学時間の平均値を求めよ。

9人の生徒のテストの得点は次の通りであった。

$$42,45,50,53,55,58,62,65,70(\text{点})$$

このデータの第1四分位数 $Q_1$、第2四分位数(中央値)$Q_2$、第3四分位数 $Q_3$、および四分位範囲を求めよ。

12人の生徒の1週間の読書時間は次の通りであった。

$$3,5,6,7,8,8,9,10,12,13,14,16(\text{時間})$$

箱ひげ図をかくために必要な、最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値の5つの値を求めよ。また、範囲と四分位範囲も求めよ。

5個のデータ

$$2,4,6,8,10$$

について、平均値・分散・標準偏差を求めよ。

5個のデータ

$$1,2,4,5,8$$

について、分散を「(データの2乗の平均値)−(平均値の2乗)」の公式を用いて求めよ。また、標準偏差を求めよ。

7個のデータ

$$5,6,7,8,9,10,30$$

について、第1四分位数 $Q_1$ と第3四分位数 $Q_3$ を求めよ。また、「$Q_1-1.5\times (\text{四分位範囲})$ 未満、または $Q_3+1.5\times (\text{四分位範囲})$ より大きい値」を外れ値とするとき、このデータに外れ値があれば求めよ。

あるテストの得点 $x$ の平均値は $60$ 点、標準偏差は $10$ 点であった。次の各場合について、新しい変量 $y$ の平均値と標準偏差を求めよ。

(1) 全員に $5$ 点を加える: $y=x+5$

(2) 全員の得点を $2$ 倍する: $y=2x$

(3) $y=-x+100$ とする

5人の生徒の数学の小テスト $x$ と英語の小テスト $y$ の得点(いずれも10点満点)は次の通りであった。

$$(x,y)=(1,2),(2,3),(3,5),(4,4),(5,6)$$

$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ と相関係数 $r$ を求めよ。

次の(1)〜(3)の2つの量の間には、一般に「正の相関」「負の相関」「相関がない(ほとんどない)」のどれがあると考えられるか。理由とともに答えよ。

(1) 夏の各日の最高気温と、その日のアイスクリームの売上金額

(2) 標高と気温(同じ時刻に、いろいろな標高の地点で測る)

(3) 生徒の身長と、その生徒の数学のテストの得点

5人の生徒のテストの得点は

$$62,68,70,73,77(\text{点})$$

で、平均値は $70$ 点である。ここに得点が $76$ 点の生徒 $1$ 人が加わった。

(1) $6$ 人の得点の平均値を求めよ。

(2) $6$ 人の得点の中央値を求めよ。

あるコインを $30$ 回投げたところ、表が $20$ 回出た。「このコインは表が出やすい」と判断してよいかを、次の実験結果を用いて考える。

公正なコイン(表と裏が同じ確率で出るコイン)を $30$ 回投げる実験を $200$ セット行ったところ、表が $20$ 回以上出たのは $4$ セットであった。

基準となる確率を $0.05$ として、「このコインは表が出やすい」と判断してよいか答えよ。

あるクラス40人のテストの得点(100点満点)を度数分布表に整理したところ、次のようになった。

• $0$ 点以上 $20$ 点未満: $2$ 人
• $20$ 点以上 $40$ 点未満: $6$ 人
• $40$ 点以上 $60$ 点未満: $14$ 人
• $60$ 点以上 $80$ 点未満: $12$ 人
• $80$ 点以上 $100$ 点未満: $6$ 人

(1) 階級値を用いて平均値を求めよ。

(2) 中央値が含まれる階級を答えよ。

6個のデータ

$$5,8,x,4,6,7$$

の平均値が $6$ であるとき、次の問いに答えよ。

(1) $x$ の値を求めよ。

(2) このデータの中央値と分散を求めよ。

5人の生徒の通学時間は次の通りであった。

$$4,6,7,8,10(\text{分})$$

(1) 平均値を求めよ。

(2) 分散と標準偏差を、定義(偏差の2乗の平均)と公式($\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$)の両方で計算し、一致することを確かめよ。

20人の生徒のテストの得点について、平均値は $60$ 点、分散は $100$ であった。ところが採点ミスが見つかり、$58$ 点だった1人は正しくは $48$ 点、$72$ 点だった1人は正しくは $82$ 点であることが分かった。

修正後の平均値と分散を求めよ。

変量 $x$ のデータの平均値は $36$、標準偏差は $4$ である。

(1) $y=5x+10$ で新しい変量 $y$ を定めるとき、$y$ の平均値・分散・標準偏差を求めよ。

(2) $u=\frac{x-36}{4}$ で新しい変量 $u$ を定めるとき、$u$ の平均値と標準偏差を求めよ。

5人の生徒の数学 $x$ と理科 $y$ のテストの得点は次の通りであった。

$$(x,y)=(2,3),(4,5),(6,4),(8,7),(10,6)$$

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

A組・B組(各40人)のテストの得点について、箱ひげ図から次の値が読み取れた。

• A組: 最小値 $30$、第1四分位数 $45$、中央値 $55$、第3四分位数 $70$、最大値 $90$
• B組: 最小値 $40$、第1四分位数 $50$、中央値 $60$、第3四分位数 $65$、最大値 $80$

次の(1)〜(4)のそれぞれについて、「正しい」「正しくない」「これらの値だけからは判断できない」のどれかを理由とともに答えよ。

(1) 四分位範囲はA組のほうが大きい。

(2) A組には $70$ 点以上の生徒が $10$ 人以上いる。

(3) B組には $90$ 点の生徒はいない。

(4) 平均値はB組のほうが高い。

10個のデータ

$$23,25,27,28,30,31,33,35,38,52$$

について、次の問いに答えよ。ただし、「$Q_1-1.5\times (\text{四分位範囲})$ 未満、または $Q_3+1.5\times (\text{四分位範囲})$ より大きい値」を外れ値とする。

(1) 第1四分位数 $Q_1$、第3四分位数 $Q_3$ を求め、外れ値を判定せよ。

(2) このデータ全体の平均値と、外れ値を除いた9個のデータの平均値をそれぞれ求め、外れ値が平均値に与える影響を述べよ。

ある部活動で新しい練習方法を試したところ、$20$ 人中 $15$ 人の記録が向上した。「新しい練習方法には効果がある」と判断してよいかを、次の考え方で調べたい。

効果がないならば、各部員の記録は向上するかしないかが同じ確率(それぞれ $\frac{1}{2}$)で起こると考えられる。そこで、公正なコイン $20$ 枚を投げて表の枚数を数える実験を $1000$ 回行ったところ、表が $15$ 枚以上になったのは $21$ 回であった。

基準となる確率を $0.05$ として、「新しい練習方法には効果がある」と判断してよいか答えよ。

2つの変量 $x,y$ の相関係数は $r=0.6$ である。次の各場合について、新しい2つの変量の相関係数を求めよ。

(1) $x$ の各値に $10$ を加え($u=x+10$)、$y$ はそのままとする。

(2) $x$ はそのまま、$y$ の各値を $2$ 倍する($v=2y$)。

(3) $x$ の各値を $-1$ 倍し($u=-x$)、$y$ はそのままとする。

A班 $10$ 人のテストの得点は平均値 $60$ 点、分散 $20$ であり、B班 $10$ 人の得点は平均値 $70$ 点、分散 $30$ であった。A班とB班を合わせた $20$ 人全体の平均値と分散を求めよ。

20組の2変量データ $(x,y)$ について、次の合計値が分かっている。

$$\sum x=100,\sum y=160,\sum x^2=580,\sum y^2=1360,\sum xy=856$$

(ここで $\sum$ は20組すべてについての合計を表す。)

$x,y$ の平均値、分散、共分散を求め、相関係数 $r$ を求めよ。

5個のデータ

$$3,5,7,x,y$$

の平均値が $6$、分散が $4$ であるとき、$x,y$ の値を求めよ。ただし $x<y$ とする。

9個のデータの平均値は $5$、分散は $8$ である。ここに1個のデータ $a$ を追加して10個のデータにする。

(1) $a=5$ のとき、追加後の平均値と分散を求めよ。

(2) 追加後の分散が最小となる $a$ の値と、そのときの分散を求めよ。

変量 $x$ のデータの平均値は $8$、標準偏差は $4$ である。

(1) $y=ax+b$($a>0$)で定めた変量 $y$ の平均値が $50$、標準偏差が $10$ となるように、定数 $a,b$ の値を定めよ。

(2) このとき、$x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

5日間の最高気温 $x$(${}^{\circ }\mathrm{C}$)とある飲料の売上数 $y$(本)のデータは次の通りであった。

$$(x,y)=(1,5),(3,4),(5,6),(7,8),(9,7)$$

(1) $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

(2) 気温を華氏に近い形 $u=2x+30$ に、売上を $v=y+3$ に変換したとき、$u$ と $v$ の相関係数を求めよ。

あるさいころを $60$ 回投げたところ、$1$ の目が $18$ 回出た($1$ の目が公正に出るなら期待されるのは $10$ 回程度である)。「このさいころは $1$ の目が出やすい」と判断してよいかを調べるため、公正なさいころを $60$ 回投げる実験をコンピュータで $1000$ 回シミュレーションしたところ、$1$ の目が $18$ 回以上出たのは $8$ 回であった。

(1) 基準となる確率を $0.05$ とするとき、「このさいころは $1$ の目が出やすい」と判断してよいか。

(2) 基準となる確率を $0.01$ とするとき、判断はどうなるか。

(3) 基準を小さくすることには、どのような意味があるか。簡潔に述べよ。

11人の生徒の得点は次の通りであった。

$$30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80(\text{点})$$

(1) このデータの平均値、中央値、第1四分位数 $Q_1$、第3四分位数 $Q_3$、範囲を求めよ。

(2) 採点ミスにより、最高点の $80$ 点は正しくは $91$ 点であったことが分かった。修正後、(1)の5つの統計量のうち値が変わるものをすべて挙げ、修正後の値を求めよ。

あるテストの得点 $x$ の平均値は $42$ 点、標準偏差は $12$ 点であった。得点を見やすくするため、1次式による調整

$$y=\frac{5}{6}x+15$$

を行う。

(1) 調整後の得点 $y$ の平均値と標準偏差を求めよ。

(2) 調整前に $66$ 点だった生徒の、調整後の得点を求めよ。

(3) この生徒の得点は、調整の前後で「平均値から標準偏差何個分離れているか」がどう変わったかを調べ、この調整が生徒の相対的な位置を変えないことを説明せよ。

A組 $20$ 人の得点は平均値 $65$ 点、分散 $24$、B組 $30$ 人の得点は平均値 $60$ 点、分散 $34$ であった。A組とB組を合わせた $50$ 人全体について、平均値・分散・標準偏差を求めよ。

ある生徒の国語の得点は $72$ 点、数学の得点は $78$ 点であった。国語は受験者全体の平均 $60$ 点・標準偏差 $12$ 点、数学は平均 $54$ 点・標準偏差 $16$ 点であった。この生徒は国語と数学のどちらが相対的に良い成績か、理由とともに答えよ。

$20$ 個のデータがあり、平均は $15$、分散は $9$ であった。あとで、データのうち $2$ 個の値 $10$ と $20$ が、正しくはそれぞれ $12$ と $18$ であったことがわかった。訂正後のデータの平均と分散を求めよ。

次の $5$ 人の $2$ 科目の得点 $(x,y)$ について、相関係数を求めよ。

$$(1,5),(2,3),(3,4),(4,2),(5,1)$$

次の度数分布表について、階級値を用いてデータの平均と分散、標準偏差を求めよ。

あるコインを $8$ 回投げたところ、表が $7$ 回出た。「このコインは表と裏が同じ確からしさで出る」という仮説を、有意水準 $5\%$ で検定せよ(表が出やすい可能性を疑う片側の検定とする)。

$n$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ に対し、$a$ の関数

$$f(a)=\sum _{i=1}^n(x_i-a{)}^2$$

を考える。$f(a)$ を最小にする $a$ は、データの平均 $\bar{x}$ であることを示せ。また、そのときの最小値を分散を用いて表せ。

$n$ 個のデータ $x_1,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$、標準偏差を $s$($s>0$)とする。各データを

$$z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}$$

と変換する(標準化)。このとき、変換後のデータ $z_1,\dots ,z_n$ の平均は $0$、分散は $1$ になることを示せ。

次の $11$ 個のデータ(小さい順)がある。

$$12,14,15,16,18,20,21,23,24,26,40$$

第 $1$ 四分位数 $Q_1$、第 $2$ 四分位数 $Q_2$、第 $3$ 四分位数 $Q_3$、四分位範囲を求めよ。また、「$Q_1-1.5\times (\text{四分位範囲})$ より小さい値、または $Q_3+1.5\times (\text{四分位範囲})$ より大きい値」を外れ値とするとき、外れ値をすべて求めよ。

$n$ 個のデータ $x_1,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$、分散を $s^2$ とする。$s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$(「$2$ 乗の平均」引く「平均の $2$ 乗」)が成り立つことを示せ。ただし $\overline{x^2}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$ とする。

$2$ 変量データの相関係数を $r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$($s_{xy}$ は共分散、$s_x,s_y$ は標準偏差)とする。$-1\le r\le 1$ が成り立つことを示せ。ただし $s_x,s_y>0$ とする。

$n$ 個のデータ $x_1,\dots ,x_n$ に対し、$g(a)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-a{)}^2$ を最小にする $a$ を求め、そのときの最小値を求めよ。

相異なる実数 $x_1<x_2<\cdots <x_n$ に対し、$h(a)={\sum }_{i=1}^n|x_i-a|$ を考える。$n$ が奇数のとき $h(a)$ を最小にする $a$ を求めよ。

データ $x_i$ を $u_i=a{x}_i+b$($a>0$)、$y_i$ を $v_i=c{y}_i+d$($c>0$)と変換する。$u$ と $v$ の相関係数 $r_{uv}$ が、もとの $x$ と $y$ の相関係数 $r_{xy}$ と一致することを示せ。

同じ大きさ $n$ の $2$ 組のデータ $A,B$ がある。$A$ の平均は $\bar{a}$、分散は $s_A^2$、$B$ の平均は $\bar{b}$、分散は $s_B^2$ とする。$A$ と $B$ を合わせた $2n$ 個のデータ全体の分散 $s^2$ を、$\bar{a},\bar{b},s_A^2,s_B^2$ で表せ。

$n$ 個のデータの平均を $\bar{x}$、標準偏差を $s(>0)$ とする。平均から $ks$ 以上離れた値、すなわち $|x_i-\bar{x}|\ge ks$($k>0$)となるデータの個数を $m$ とするとき、$\frac{m}{n}\le \frac{1}{k^2}$ が成り立つことを示せ。

$2$ 変量データ $x_i,y_i$($i=1,\dots ,n$)について、和 $z_i=x_i+y_i$ のデータの分散 $s_z^2$ を、$x$ の分散 $s_x^2$、$y$ の分散 $s_y^2$、共分散 $s_{xy}$ で表せ。また、$s_z^2$ が最大・最小になるのはどんなときか、相関係数 $r$ の言葉で述べよ。

$n$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ がすべて $m\le x_i\le M$($m<M$)を満たすとする。このデータの平均値を $\bar{x}$、分散を $s^2$ とする。

(1) $s^2\le \frac{(M-m{)}^2}{4}$ を示せ。

(2) $n$ が偶数のとき、等号が成り立つデータの例を1つ挙げよ。

(3) $n$ が奇数のとき、$s^2$ の最大値を求めよ。

$n$ 個のデータ $x_1,\dots ,x_n$ の平均値を $\bar{x}$、中央値を $M_e$、標準偏差を $s$ とする。以下、「$\sum _{i=1}^n\left|x_i-c\right|$ を最小にする $c$ は中央値 $M_e$ である」ことは用いてよい。

(1) 任意の実数 $c$ に対して

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left|x_i-c\right|\le \sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-c{)}^2}$$

が成り立つことを示せ。

(2) $\left|\bar{x}-M_e\right|\le s$ を示せ。

(3) $s>0$ とする。比 $\frac{\left|\bar{x}-M_e\right|}{s}$ は $1$ にいくらでも近づけられることを、データの例を作って示せ。

$n\ge 2$ とし、$x_1,x_2,\dots ,x_n$ はどの2つも異なる整数であるとする。このデータの分散を $s^2$ とする。

(1) 分散は次のようにも書けることを示せ。

$$s^2=\frac{1}{2n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(x_i-x_j{)}^2$$

(2) $s^2\ge \frac{n^2-1}{12}$ を示し、等号が成り立つのはどんなときか答えよ。

変量 $x$ の値の集まり $\{1,2,3,4,5\}$ と、変量 $y$ の値の集まり $\{1,2,3,4,10\}$ を1対1に対応させて、5個のデータ $(x_i,y_i)$ を作る。対応のつけ方は $5!=120$ 通りある。

(1) 対応をどう変えても $\bar{x},\bar{y},s_x,s_y$ は変わらない。このことを用いて、相関係数 $r$ を最大にすることが $\sum _{i=1}^5{x}_i{y}_i$ を最大にすることと同じである理由を説明せよ。

(2) $\sum x_i{y}_i$ を最大にする対応は、$x$ と $y$ を同じ順位どうしで組んだものであることを示せ。

(3) $r$ の最大値と最小値を求めよ。

$n$ 個のデータ $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ について、$x$ の平均を $\bar{x}$、分散を $s_x^2$($s_x>0$)、$y$ の平均を $\bar{y}$、分散を $s_y^2$($s_y>0$)、共分散を $s_{xy}$、相関係数を $r$ とする。直線 $y=ax+b$ に対して

$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^n{\left(y_i-a{x}_i-b\right)}^2$$

とおく($Q$ は各点から直線までの縦のずれの2乗和である)。

(1) $Q$ を最小にする $a,b$ を求めよ。

(2) $Q$ の最小値は $n{s}_y^2\left(1-r^2\right)$ であることを示せ。

(3) (2)から $-1\le r\le 1$ を導き、$r=\pm 1$ となるのはどんなときか答えよ。

2つの変量 $x,y$ について、標準偏差は $s_x=3$、$s_y=4$ であるとする。$x$ と $y$ の相関係数を $r$ とする。

(1) $x+y$ の標準偏差 $s_{x+y}$ のとりうる値の範囲を求めよ。また、両端が実現するデータの例をそれぞれ挙げよ。

(2) $x+y$ と $x-y$ の相関係数を $r$ で表せ。

(3) (2)で求めた値のとりうる範囲を求めよ。

$n$ 個のデータ $x_1,\dots ,x_n$($n\ge 2$)の平均値を $\bar{x}$、標準偏差を $s$($s>0$)、最大値を $M$ とする。

(1) $M-\bar{x}\le s\sqrt{n-1}$ が成り立つことを示せ。

(2) 5人が受けた小テストで、平均点が $60$ 点、標準偏差が $10$ 点であった。最高点は $80$ 点を超えないことを示し、最高点が $80$ 点になるときの5人の得点を求めよ。

3つの変量 $x,y,z$ があり、いずれも標準偏差は正であるとする。$x$ と $y$ の相関係数が $\frac{4}{5}$、$y$ と $z$ の相関係数が $\frac{4}{5}$ であるとき、$x$ と $z$ の相関係数を $r$ とする。

(1) $r=1$ となることはあるか。理由をつけて答えよ。

(2) $r\ge \frac{7}{25}$ を示せ。

(3) $r=\frac{7}{25}$ となる5個のデータの例を1つ挙げよ。