箱ひげ図(五数要約)の読み取りと正誤判定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 箱ひげ図の読み取りで問われるのは、計算力ではない。「その図から確実に言えること」と「言えないこと」の線引きだ。

使う知識は2つ。①四分位数はデータをおよそ $25\%$ ずつに区切る位置。②箱ひげ図には平均値の情報がない(五数要約は順位の情報だけ)。

各主張を「五数要約から論理的に導けるか?」と1つずつ検問していく。導けなければ、正解は「判断できない」だ。

(1) 正しい。 四分位範囲は $Q_3-Q_1$ だ。

$$\text{A組}:70-45=25,\text{B組}:65-50=15$$

よってA組のほうが大きく、正しい。

(2) 正しい。 『$25\%$ だからだいたい $10$ 人』で済ませず、きちんと詰めてみる。A組の $Q_3=70$ は、小さいほうから $30$ 番目と $31$ 番目の得点の平均だ。もし $70$ 点以上の生徒が $9$ 人以下だとすると、$31$ 番目の得点は $70$ 点未満となり、$30$ 番目の得点はそれ以下なので、2つの平均が $70$ になることはありえない。よって $70$ 点以上の生徒は、$31$ 番目から $40$ 番目の $10$ 人以上いる。正しい。

(3) 正しい。 B組の最大値は $80$ 点なので、$80$ 点を超える生徒はいない。よって $90$ 点の生徒はおらず、正しい。最大値・最小値はひげの端から直接読める、いちばん素直な情報だ。

(4) 判断できない。 ここがこの問題の核心だ。箱ひげ図(五数要約)からわかるのはデータの順位の区切りであって、平均値はわからない。中央値はB組のほうが高い($60>55$)が、たとえばA組に $90$ 点近い高得点者が何人もいれば、平均値はA組のほうが高くなることも十分ありえる。『中央値が高い → 平均値も高い』という推論は成り立たない。中央値は順位しか見ておらず、平均値は値の大きさに引きずられる、という2つの代表値の性格のちがいが、そのまま答えになっている。

発展 — 一歩先へ。 箱ひげ図は「順位の要約」であって「値の分布の完全な記録」ではない。同じ箱ひげ図を持つ、姿の違う分布は無数にある。この限界を知っていることが、資料の読み手としての成熟だ。

ヒストグラムと箱ひげ図の対応を問う問題(どのヒストグラムがどの箱ひげ図か)も、今日の「言える・言えない」の線引きの応用である。

別解

「判断できない」を確信を持って答えるための、強い方法がある。反例を自分で作ってしまうのだ。

(4)の平均値なら、こう考える。A組の五数要約を保ったまま、中身の自由な部分を動かせるか。

たとえば、中央値 $55$ と第3四分位数 $70$ の間にいる8人($22$ 番目から $29$ 番目)は、五数要約に一切触れずに $55$ と $70$ の間を自由に動ける。全員 $56$ 点の場合と、全員 $69$ 点の場合では、箱ひげ図はまったく同じなのに、平均は $2$ 点以上変わる。

つまり、同じ箱ひげ図から平均が大きくも小さくもなり得る。だから平均の大小は「判断できない」。

「言えない」ことの証明は、反例1つで完了する。集合と命題で学んだ「偽の証明は反例」が、データの読み取りでもそのまま働いている。