仮説検定の考え方(コイン)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 仮説検定の考え方はこうだ。「仮説(表裏五分五分)が正しいとしたら、観測された結果はどれくらい珍しいか」を確率で測る。

観測は「$8$ 回中表 $7$ 回」。片側検定だから、「$7$ 回か、それより極端な $8$ 回」が起こる確率を計算する。

$P(\text{表}\ge 7)=\frac{{}_8{\mathrm{C}}_7+{}_8{\mathrm{C}}_8}{2^8}=\frac{9}{256}\approx 0.035$。これが有意水準 $5\%$ より小さいから、「めったに起きないことが起きた=仮説が疑わしい」として棄却する。

① 仮説のもとでの確率を計算する。 仮説が正しければ表の出る確率は $\frac{1}{2}$。$8$ 回投げて「表 $7$ 回以上」(=$7$ 回または $8$ 回)が起こる確率は、反復試行の考えで

$$P=\frac{{}_8{\mathrm{C}}_7+{}_8{\mathrm{C}}_8}{2^8}=\frac{8+1}{256}=\frac{9}{256}$$

② 有意水準と比べる。 $\frac{9}{256}\approx 0.035$。これは有意水準 $5\%=0.05$ より小さい。

$$0.035<0.05$$

③ 判断する。 仮説が正しいとすると「表 $7$ 回以上」は $5\%$ 未満のめったに起きないことになる。それが実際に起きたのだから、仮説「表裏は同じ確からしさ」は棄却され、表が出やすいと判断してよい。

まとめ:仮説検定は「仮説が正しいなら今回の偏りはどれだけ珍しいか」を確率で測り、$5\%$ を基準に判断する。$5\%$ より小さければ「偶然とは考えにくい」として仮説を捨てる。基準の取り方(片側・両側や有意水準)で結論が変わり得る点にも注意。

発展 — 一歩先へ。 この検定は、二項分布 $B(8,\frac{1}{2})$ の上側確率を有意水準と比べたもの。$n$ が大きくなると二項分布は正規分布で近似でき、$z$ 値で棄却域を判定する(数Bの統計的推測)。「めったに起きないことが起きたら仮説を疑う」という背理法に似た論法が、統計的検定の核心だ。

別解

別解 — $8$ 回の結果を全部数え上げて確率を出す(苦手な人にも確実なルート)。 表裏五分五分なら、$8$ 回の出方は $2^8=256$ 通りで、どれも同じ確からしさ。このうち「表 $7$ 回以上」が何通りかを数える。

• 表 $8$ 回(全部表): $1$ 通り。
• 表 $7$ 回(どれか $1$ 回だけ裏): 裏の位置が $8$ 通り。

合わせて $9$ 通り。だから確率は $\frac{9}{256}\approx 0.035$。

これが有意水準 $5\%=0.05$ より小さい。「仮説が正しいなら $3.5\%$ でしか起きないことが実際に起きた」ので、仮説「五分五分」は疑わしい=棄却。表が出やすいと判断してよい。

二項係数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{7}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8}\right)$ を使う本解と同じ $9$ 通りだが、「$256$ 通り中、表 $7$ 回以上は $9$ 通り」と全数で数えると、確率の意味(全パターン中の割合)がはっきりする。もし表 $6$ 回でも棄却されるかは、$P(\ge 6)=\frac{1+8+28}{256}=\frac{37}{256}\approx 0.14>0.05$ で棄却されない、と続けて確かめられる。